python机器人运动学_学习机器人运动学，动力学需要哪些数学基础课程？

来答干货，UCLA系统与控制方向硕士在读，发过一些小文章，对之前的学习路线做个总结。

首先，你感兴趣的是机器人运动学与动力学，我个人通常将这两块定义为：机器人空间位置、姿态等状态，随连续或非连续时间的一个变化过程。通常，我们可以通过代数方程、微分方程、差分方程来对这样的系统进行建模。

在控制理论中，我们总是要对大量的线性与非线性、自治与非自治的“方程”进行研究。现代控制理论的一些重要研究方法，比如状态空间法、数值方法等，其数学基础也是微分方程的解的存在性与唯一性定理、矢量场、Euler法与龙格-库塔法等。所以在讨论机器人运动控制、力控制等问题时，我们基本离不开数学方程。

此外，由于研究的深入、系统复杂性的增加、扰动不确定性的增强。我们所面对的系统往往有更多的state，甚至更多input/output，所以我们也需要运用一种更加简洁的表示方法，对上一段所说的dynamics equation进行描述，矩阵运算也就应运而生了。最基础的要求显然是线性代数，这不光对于机器人动力学、控制很重要，对于力学和控制的其他分支同样如此。比如非线性、结构振动、气动弹性力学啊，线性代数都是最基础也是最重要的。和一元二元微积分一样，如果能对矩阵行列式、特征值、秩、Gram-Schemidt定理、SVD分解、Jacobi矩阵等概念烂熟于心，会对学术研究很有帮助。

另外，matlab或者maple/mathematica非常重要！因为我发现国内很多院校的线性代数课上根本不会cover用到matlab的内容，比如SVD分解、QR分解完全可以通过一行matlab代码完成，非要让学生用手算，很多学生觉得麻烦索性就列个式子就直接抄答案了，或者就专注于算结果而不关注于他们的物理意义和应用了，但这样会错过一些非常有趣的东西(下面是举例说明，嫌长建议跳过)

拿SVD分解来说吧(对8起，我真不知道unitary矩阵怎么翻译...)

式子中的V矩阵和U矩阵是存在某种映射关系的。我们在控制学中常说的增益(gain)，就与V，U两个矩阵相关，如果我们将A和V中的某一列向量做矩阵乘法，并进行标准化(normalization)之后，发现得到的就是U中对应的列向量，我们将V称为增益输入(gain input)，U称为增益输出(gain output)。

我相信如果不用matlab的话，很少有学生愿意手撸SVD分解之后，还去再额外做两个矩阵乘法和标准化。如果再扩展一点，从增益这块还能引申到矩阵“模”(induced norm，我还是不会翻译..)的几何意义与推导。图中蓝色的圆是单位向量在二维实平面内的集合，黑色虚线和红色虚线分别是low input gain/high input gain，对应的黑色红色实线是low gain output\high gain output。绿色椭圆是矩阵A*向量v(注意区分之前的大写V)的结果。但蓝色圆上点到(0, 0)的距离，同时也意味着向量v的p-norm为1，绿色上一点到(0, 0)距离，等于Av的p-norm。红色实线的长度其实是Av的p-norm最大时的情况，这就定义了一种矩阵induced norm。同时，这个induced norm的值是SVD分解中Sigma矩阵的(1,1)元素，即矩阵A*A的最大的特征值的算术平方根。

SVD分解与增益、与matrix induced norm

是不是很神奇，一下子把SVD分解、增益、induced norm，特征值的概念都cover进来了，用matlab写短短几行代码就能去验证这样的结论是很有意思的，但如果用手算的话，我相信只有20%的学生和老师会走到这里吧。

同样的，对于机器人运动学来说，如果给定一个机械臂各个关节或者自由度的参数，你来算执行端，比如抓取机构，焊枪头(torch？)的工作空间(reachable space)，这也就是所谓的forward kinematics，假如你能徒手算对所有的矩阵运算坐标转换，但在画工作空间的时候仍然要费一番功夫对吗？找特征点、极值点之类的。但如果你用matlab，矩阵运算做完，工作空间自然就得到了，画一下而已。求解这样一个2DOP机械臂的工作空间上图中工作空间的解

说的有点多了，意思就是matlab是研究机器人运动学、动力学必不可少的工具，如果你不会，那你一定会错过很多有意思的东西。

方程建模之后，我们也要对方程进行求解与分析，在此我们需要一些实分析与复分析的基础。对于系统稳定性啊，频域分析啊，这些知识都会有所帮助。但是这块我个人认为不需要专门的数学书去学，在经典控制理论以及线性、非线性控制系统分析与设计，反馈系统等教材中都会有所涉及。

上面说的内容其实是最重要的，但是针对不同的问题也有不同的一些数学方法。比如，我们有时候对于随机过程、估计与控制，需要概率论的相关知识。或者有时需要对连续的状态量、输入输出、时间进行离散化，从而进行数值运算方便计算机进行模拟，需要数值分析的知识，对于拉格朗日插值，数值积分等内容要有了解。

举例来说，我们可以使用最优控制问题对机器人的路径规划进行建模。通过设置合适的cost fuction和约束对问题进行研究，或者通过一些方法，将optimal control的问题转化为较易求解的nonlinar programming。我们因此要对于最优与规划的思想有所了解。

随着系统科学、控制科学、动力学的发展，越来越多的工具需要被掌握。高数线代微分方程matlab基本已经沦为了最基本的研究门槛。对于目前机器学习深度学习方法的性能优异性，我们对统计学习方法也要做一些了解了。其他的像变分法、分析力学、有限元等理论与计算方法，也可以在补习数学基础的同时，逐渐去吸收。

最后又要祭出这一张图了，controls and dynamics博大精深