P2717 寒假作业 题解 CDQ分治

寒假作业

传送门

题目背景

zzs 和 zzy 正在被寒假作业折磨,然而他们有答案可以抄啊。

题目描述

他们共有 n n n 项寒假作业。zzy 给每项寒假作业都定义了一个疲劳值 a i a_i ai,表示抄这个作业所要花的精力。

zzs 现在想要知道,有多少组连续的寒假作业的疲劳值的平均值不小于 k k k

简单地说,给定一个长度为 n n n 的正整数序列 { a i } \{a_i\} {ai},求出有多少个连续子序列的平均值不小于 k k k

输入格式

第一行是两个整数,分别表示序列长度 n n n 和给定的参数 k k k

第二行有 n n n 个整数,第 i i i 个整数表示序列的第 i i i 个数字 a i a_i ai

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

3 2
1
2
3

样例输出 #1

4

提示

样例 1 解释

共有 6 6 6 个连续的子序列,分别是 ( 1 ) (1) (1) ( 2 ) (2) (2) ( 3 ) (3) (3) ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2) ( 2 , 3 ) (2,3) (2,3) ( 1 , 2 , 3 ) (1,2,3) (1,2,3),平均值分别为 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1.5 1.5 1.5 2.5 2.5 2.5 2 2 2,其中平均值不小于 2 2 2 的共有 4 4 4 个。

数据规模与约定
  • 对于 20 % 20\% 20% 的数据,保证 n ≤ 100 n \leq 100 n100
  • 对于 50 % 50\% 50% 的数据,保证 n ≤ 5000 n \leq 5000 n5000
  • 对于 100 % 100\% 100% 的数据,保证 1 ≤ n ≤ 1 0 5 1 \leq n \leq 10^5 1n105 1 ≤ a i , k ≤ 1 0 4 1 \leq a_i,k \leq 10^4 1ai,k104

以上来自洛谷 以上来自洛谷 以上来自洛谷

解题思路

题目看不懂?确实题面可以转化为:求平均值大于等于k的区间个数。是不是想用 C D Q CDQ CDQ 了?我偏不用。

考虑暴力

枚举每个区间的右端点,枚举相应的区间。时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

优化

对于平均值的处理,可以把 a i − k a_i-k aik,这样问题就转换为求出区间和大于等于0的区间个数
枚举右端点之后,考虑怎么快速求出左边区间和大于等于 0 0 0 的个数。
定义 t o t tot tot 表示当前以 i i i 为右端点的前缀和,用一个vector sum维护当前右端点对应的所有左端点加 t o t tot tot 表示某段区间和。这样每次只要求出 s u m + t o t ≥ 0 sum+tot\ge 0 sum+tot0 的个数,很容易想到二分,可以手打,但有函数可以直接用。用lower__boundinsert保证插入后vector有序。考虑插入对于当前位置 j j j j j j i i i 的区间和,表示为 S u m [ i ] − S u m [ j − 1 ] Sum[i]-Sum[j-1] Sum[i]Sum[j1]。而 s u m j − 1 sum_{j-1} sumj1 就是当前枚举到j还没有加上 a j a_j aj t o t tot tot。时间复杂度 O ( n × n ) O(n\times \sqrt n) O(n×n ),这不就过了吗。

AC Code

#include 
using namespace std;
#define int long long
const int Maxn = 4e5 + 5;
int n, k, a[Maxn];
vector<int> sum;
int tot;
int ans;
inline void work() {
	cin >> n >> k;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
		a[i] -= k;
	}
	int tmp;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		sum.insert(lower_bound(sum.begin(), sum.end(), -tot), -tot);
		tot += a[i];
		tmp = sum.end() - lower_bound(sum.begin(), sum.end(), -tot);
		ans += tmp;
	}
	cout << ans << endl;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	work();
	return 0;
}
//CDQ?

什么?你还想写 C D Q CDQ CDQ

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