高中奥数 2021-12-17

2021-12-17-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（二） P058 例4）

是否存在2002个不同的正实数,使得对任意正整数,,多项式的每个复根都满足?(约定,.)

分析与解

不存在.

用反证法.若存在正实数满足题设要求,对一固定的,设的复根为,那么由于,而

即的实部,所以

而由韦达定理

所以

$\begin{aligned} z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{2001}^{2}&=\left(z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{2001}\right)^{2}-2\sum\limits_{1\leqslant j\leqslant l\leqslant 2001}z_{j}z_{l}\\ &=\dfrac{a_{k+2000}^{2}-2a_{k+1999}a_{k+2001}}{a_{k+2001}^{2}}, \end{aligned}$

即是一个实数.

又由(1)知,其实部,所以它是一个非负实数,即

上式对每个均成立,即当,均有.但这是不可能的,事实上:

设是中最小的一个,那么,矛盾.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（二） P059 例5）

是正整数,为复数,且对集合的任一非空子集,均有

证明:.

分析与解

设,,则题设条件变为

先证如下引理:设、为实数,,,,则,,.

引理的证明:如图,由复数的几何意义,有,.

图1

又由

$\begin{aligned} \left|r e^{\mathrm{i} \theta}-1\right| &=|r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)-1| \\ &=\left|(r-1)(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)+[(\cos \theta-1)+i \sin \theta] \right|\\ & \leqslant\left|r-1\right|+\sqrt{(\cos \theta-1)^{2}+\sin ^{2} \theta} \\ &=\left|r-1\right|+\sqrt{2(1-\cos \theta)}\\ &=\left|r-1\right|+2\left|\sin\dfrac{\theta}{2}\right|\\ &\leqslant\left|r-1\right|+\left|\theta\right|, \end{aligned}$

得引理的另一部分.

由(1)及引理,对用数学归纳法知:

因此

$\begin{aligned} \sum_{j=1}^{n}\left|a_{j}\right| & \leqslant \sum_{j=1}^{n}\left|r_{j}-1\right|+\sum_{j=1}^{n}\left|\theta_{j}\right| \\ &=\sum_{r_{j} \geqslant 1}\left|r_{j}-1\right|+\sum_{r_{j}<1}\left|r_{j}-1\right|+\sum_{\theta_{j} \geqslant 0}\left|\theta_{j}\right|+\sum_{\theta_{j}<0}\left|\theta_{j}\right| . \end{aligned}$

由(2)知

$\begin{aligned} \sum_{r_{j} \geqslant 1}\left|r_{j}-1\right| &=\sum_{r_{j} \geqslant 1}\left(r_{j}-1\right) \leqslant \prod_{r_{j} \geqslant 1}\left(1+r_{j}-1\right)-1 \\ & \leqslant \frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}, \\ \sum_{r_{j}<1}\left|r_{j}-1\right| &=\sum_{r_{j}<1}\left(1-r_{j}\right) \leqslant \prod_{r_{j}<1}\left(1-\left(1-r_{j}\right)\right)^{-1}-1 \\ & \leqslant 2-1=1, \\ \sum_{j=1}^{n}\left|\theta_{j}\right| &=\sum_{\theta_{j} \geqslant 0} \theta_{j}-\sum_{\theta_{j}<0} \theta_{j} \leqslant \frac{\pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{6}\right) \leqslant \frac{\pi}{3} . \end{aligned}$

综上,有

证毕.

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