Codeforces Round 919 (Div. 2) E. Counting Binary Strings

E. Counting Binary Strings

题意

定义一个字串 $s$ 为 $good$ 当且将当：$s$ 有且仅有 $1$ 个字符 ${}^{\prime }{1}^{\prime }$
请统计有多少个字符串：恰好有 $n$ 个 $good$ 的字串，且每个 $good$ 的字串长度都不大于 $k$

思路

先从贡献的角度考虑一个串 $s$ 有多少个 $good$ 的字串， 从官方题解的例子来看：每一个 $1$ 的贡献都是其两边的 $0$ 的数量 $+1$ 的乘积，$+1$ 是因为 $1$ 本身也要算进去。

那么上面这个串的 $good$ 字串数量就是：$a_1{a}_2+a_2{a}_3+a_3{a}_4+a_4{a}_5$
可以发现总的数量就是数组 $a$ 中相邻两个元素的乘积，并且我们如果在末尾加上一个新的元素 $a_j$ ，是不会影响前面的结果的，而且可以直接使用前面的结果来计算新的数量。那么我们可以考虑 $DP$ ：
令 $d{p}_{i,j}$ 表示和恰好为 $i$ ，且 $a$ 的最后一个元素是 $j$ 的字符串数量。那么我们可以写出转移方程：

$dp[i][j]={\sum }_{p=1}^{min(\lfloor \frac{i}{j}\rfloor ,k-j+1)}dp[i-p\cdot j][p]$

意思就是枚举最后一位为 $j$，再枚举倒数第二位为 $p$，注意 $p\cdot j\le i$ 且 $p+j-1\le k$（$good$串长度不能超过 $k$）

初始化要令 $\forall j\in [1,k]，dp[0][j]=1$，这是由于如果后面某一个和 $i$，其最后两个元素乘起来刚好是 $i$ 的情况，也就是对应 $a$ 长度只有 $2$，即 $s=00000001$ 或 $s=100000$ 这种情况。

这样子对于每一个 $i$ 和 $j$，我们枚举 $p$ 最多到 $\lfloor \frac{i}{j}\rfloor$ ，所有 $j$ 求和起来就是 $\lfloor \frac{i}{1}\rfloor +\lfloor \frac{i}{2}\rfloor +...+\lfloor \frac{i}{i}\rfloor =O(i\log i)$。
最终的时间复杂度就是 $O(n\sum i\log i)=O(n^2\log n)$

#include
#define fore(i,l,r)	for(int i=(int)(l);i<(int)(r);++i)
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'
#define ull unsigned long long
#define ALL(v) v.begin(), v.end()
#define Debug(x, ed) std::cerr << #x << " = " << x << ed;

const int INF=0x3f3f3f3e;
const long long INFLL=1e18;

typedef long long ll;

template<class T>
constexpr T power(T a, ll b){
    T res = 1;
    while(b){
        if(b&1) res = res * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

constexpr ll mul(ll a,ll b,ll mod){ //快速乘，避免两个long long相乘取模溢出
    ll res = a * b - ll(1.L * a * b / mod) * mod;
    res %= mod;
    if(res < 0) res += mod; //误差
    return res;
}

template<ll P>
struct MLL{
    ll x;
    constexpr MLL() = default;
    constexpr MLL(ll x) : x(norm(x % getMod())) {}

    static ll Mod;
    constexpr static ll getMod(){
       if(P > 0) return P;
       return Mod;
    }

    constexpr static void setMod(int _Mod){
       Mod = _Mod;
    }
    constexpr ll norm(ll x) const{
       if(x < 0){
           x += getMod();
       }
       if(x >= getMod()){
           x -= getMod();
       }
       return x;
    }
    constexpr ll val() const{
       return x;
    }
    explicit constexpr operator ll() const{ 
       return x; //将结构体显示转换为ll类型： ll res = static_cast(OBJ)
    }
    constexpr MLL operator -() const{ //负号，等价于加上Mod
       MLL res;
       res.x = norm(getMod() - x);
       return res;
    }
    constexpr MLL inv() const{
       assert(x != 0);
       return power(*this, getMod() - 2); //用费马小定理求逆
    }
    constexpr MLL& operator *= (MLL rhs) & { //& 表示“this”指针不能指向一个临时对象或const对象
       x = mul(x, rhs.x, getMod()); //该函数只能被一个左值调用
       return *this;
    }
    constexpr MLL& operator += (MLL rhs) & {
       x = norm(x + rhs.x);
       return *this;
    }
    constexpr MLL& operator -= (MLL rhs) & {
       x = norm(x - rhs.x);
       return *this;
    }
    constexpr MLL& operator /= (MLL rhs) & {
       return *this *= rhs.inv();
    }
    friend constexpr MLL operator * (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res *= rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr MLL operator + (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res += rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr MLL operator - (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res -= rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr MLL operator / (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res /= rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr std::istream& operator >> (std::istream& is, MLL& a){
       ll v;
       is >> v;
       a = MLL(v);
       return is;
    }
    friend constexpr std::ostream& operator << (std::ostream& os, MLL& a){
       return os << a.val();
    }
    friend constexpr bool operator == (MLL lhs, MLL rhs){
       return lhs.val() == rhs.val();
    }
    friend constexpr bool operator != (MLL lhs, MLL rhs){
       return lhs.val() != rhs.val();
    }
};

const ll mod = 998244353;
using Z = MLL<mod>;

int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    std::cout.tie(nullptr);
    int t;
    std::cin>>t;
    while(t--){
        int n,k;
        std::cin>>n>>k;
        std::vector<std::vector<Z>> dp(n+1, std::vector<Z>(k+1, 0));
        fore(i,1,k+1) dp[0][i] = 1;
        Z ans = 0;
        fore(i,1,n+1){
            fore(j,1,k+1)
                fore(p,1,std::min(i/j, k-j+1) + 1)
                    dp[i][j] += dp[i - p*j][p];
        }
        fore(j,1,k+1) ans += dp[n][j];
        std::cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}