Lucas求大组合数C（n,m）%p

将大组合数C（n,m）%p分解为小组合数C（n,m）%p乘积的模，n<=10^18,m<=10^18。

其中求解小组合数可以根据定义式计算（质因子分解），也可以通过定义式的变形计算（逆元）

一、定义式计算（质因子分解-快速幂）

快速幂计算每一组pi^ci%p，然后相乘取模

#include
//素数表(筛法)
const int maxn=1000000;
int prime[maxn];
int pNum=0;
bool p[maxn]={false};
void Find_Prime(){
	for(int i=2;i

二、定义式的变形计算（逆元）

#include
//扩展欧几里得（解出x） 
int exGcd(int a,int m,int &x,int &y){
	if(m==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int g=exGcd(m,a%m,x,y);
	int temp=x;
	x=y;
	y=temp-(a/m)*y;
	return g;
}

//逆元（得0-m范围内的解）
int inverse(int a,int m){
	int x,y;
	int g=exGcd(a,m,x,y);
	return (x%m+m)%m;
}

//求小组合数C(n,m)%p 
int C(int n,int m,int p){
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		ans=ans*(n-m+i)%p;
		ans=ans*inverse(i,p)%p;
	}
	return ans; 
}

//Lucas求大组合数 C(n,m)%p
 int Lucas(int n,int m,int p){
 	if(m==0) return 1;
 	return C(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p)%p;
 }
 
 int main(){
 	int n,m,p;
 	scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
 	printf("%d",Lucas(n,m,p));
 	return 0;
 }

运行结果：

C（84,58）%5=2