2.矩阵

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当行数=列数，可以叫方阵
有很多特殊的矩阵是方阵。

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矩阵实现

from playLA.Vector import Vector


class Matrix:

    def __init__(self, list2d):
        self._values = [row[:] for row in list2d]

    def size(self):
        r , c = self.shape()
        return r * c

    def row_num(self):
        return self.shape()[0]

    __len__ = row_num

    def row_vector(self, index):
        return Vector(self._values[index])

    def col_vector(self, index):
        return Vector([row[index] for row in self._values])

    def __getitem__(self, pos):
        r,c = pos
        return self._values[r][c]

    def col_num(self):
        return self.shape()[1]

    def shape(self):
        return len(self._values), len(self._values[0])
    def __repr__(self):
        return "Matrix({})".format(self._values)

    __str__ = __repr__

矩阵的加法

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矩阵的数量乘法

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矩阵和向量的乘法

矩阵变换为方程组

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交通网络的方程组

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电路系统

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化学方程式

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矩阵和线性系统的关系

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矩阵是向量的函数，找到一个矩阵T，使得矩阵可以变换向量（横坐标1.5倍，Y长度为2倍）

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如果我们看待问题的视角是，一个个点坐标。也就是说，我们把原来的2个向量，用3个点来表。那么一列就是一个点。我们直接对这3个点应用原来的变换函数，也就是矩阵T，我们就可以让每个向量达到横坐标扩大1.5，纵坐标扩大2的效果。

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矩阵乘法

矩阵和矩阵的乘法，其实就是矩阵依次和另一个矩阵的每个列向量做乘法，在得到一个个列向量变成结果矩阵的过程。

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矩阵A的列数 必须和矩阵B的行数一致。

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点乘要成立，就必须让R 和 C 的个数一样
所以就得到A的列数和B的行数一致。

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这样就意味着矩阵乘法不遵守交换律。因为很有可能不能相乘。

矩阵乘法的性质

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矩阵的转置

一般在矩阵表示的时候，每一行是样本，每列是特征或属性。
矩阵的转置，就是行成为列，列成为行。

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转置的性质

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矩阵的实现

class Matrix:

    def __init__(self, list2d):
        self._values = [row[:] for row in list2d]

    def size(self):
        r , c = self.shape()
        return r * c

    def row_num(self):
        return self.shape()[0]

    __len__ = row_num

    def row_vector(self, index):
        return Vector(self._values[index])

    def col_vector(self, index):
        return Vector([row[index] for row in self._values])

    def __getitem__(self, pos):
        r,c = pos
        return self._values[r][c]

    def col_num(self):
        return self.shape()[1]

    def shape(self):
        return len(self._values), len(self._values[0])
    def __repr__(self):
        return "Matrix({})".format(self._values)

    __str__ = __repr__

    def __add__(self, other):
        assert self.shape() == other.shape(), \
            "Error in adding. Shape of matrix must be same"
        return Matrix([[a + b for a, b in zip(self.row_vector(i), other.row_vector(i))]
                       for i in range(self.row_num())])

    def __sub__(self, other):
        assert self.shape() == other.shape(), \
            "Error in subtracting. Shape of matrix must be same"
        return Matrix([[a - b for a, b in zip(self.row_vector(i), other.row_vector(i))]
                       for i in range(self.row_num())])

    def T(self):
        return Matrix([[e for e in self.col_vector(i)]
                       for i in range(self.col_num()) ])
    def dot(self, other):
        if isinstance(other, Vector):
            assert self.col_num() == len(other)
            return Vector([self.row_vector(i).dot(other) for i in range(self.row_num())])
        if isinstance(other, Matrix):
            assert self.col_num() == other.row_num()
            return Matrix([[self.row_vector(i).dot(other.col_vector(j)) for j in range(other.col_num())]
                           for i in range(self.row_num())])

    def __mul__(self, k):
        return Matrix([[e * k for e in self.row_vector(i)]
                       for i in range(self.row_num())])

    def __rmul__(self, k):
        return self * k

    def __truediv__(self, k):
        return (1 / k) * self

    def __pos__(self):
        return 1 * self

    def __neg__(self):
        return -1 * self

    @classmethod
    def zero(cls, r, c):
        return cls([[0] * c for _ in range(r)])

矩阵表示变换

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单位矩阵

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矩阵的逆

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A称为可逆矩阵，或者叫非奇异矩阵
有些矩阵是不可逆的，称为奇异矩阵。

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可逆矩阵一定为方程， 非方阵一定不可逆

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看待矩阵的关键视角

空间

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e1 , e2 为X和Y的单位向量

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回头来看图形变化

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就是在寻找一个新的坐标系的空间

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总结

矩阵的运算

矩阵的加法，乘法（数字，向量，矩阵），幂，转置，逆（还没学习如何求矩阵的逆）
矩阵和向量相乘（行视角，列视角）

矩阵的视角

视角1 数据（不重要，可忽略）

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视角2 系统（线性方程组）

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视角3 向量的函数
图形变化

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视角4 空间

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