1143.最长公共子序列 1035.不相交的线 53.最大子序和动态规划
1143.最长公共子序列 1035.不相交的线 53.最大子序和动态规划
1143.最长公共子序列
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给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。
若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。
示例 1:
- 输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace”
- 输出：3
- 解释：最长公共子序列是 “ace”，它的长度为 3。
示例 2:
- 输入：text1 = “abc”, text2 = “abc”
- 输出：3
- 解释：最长公共子序列是 “abc”，它的长度为 3。
示例 3:
- 输入：text1 = “abc”, text2 = “def”
- 输出：0
- 解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。
提示:
- 1 <= text1.length <= 1000
- 1 <= text2.length <= 1000 输入的字符串只含有小写英文字符。
思路
思路：动态规划 1.dp数组以及下标代表含义 定义二维数组dp[i][j].表示以字符串 text1[i] 和 text2[j]为结尾字符串中，最长公共子序列的长度。 我相信有人会对dp公式的定义存在疑问。 这样定义dp数组为什么不行？二维数组dp[i][j].表示以字符串 text1[i] 和 text2[j]为结尾的最长公共子序列的长度 可以用这种方式举个例子 求最长公共子序列的递推公式怎么写呢？ 当nums[i] == nums[j] dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 这没有问题 当nums[i] ！= nums[j]。 根据dp的定义，最长公共子序列dp[i][j]要以nums[i] 和 nums[j]为结尾。但是nums[i] ！= nums[j]，所以dp[i][j] =0； 此时再看递推公式，这不就是求连续子序列的递推公式吗,我们要求的是不连续的子序列，所以dp数组的定义方式不可以定义【以字符串 text1[i] 和 text2[j]为结尾的最长公共子序列的长度】 2.确定递推公式 当nums[i] == nums[j] dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 当nums[i] ！= nums[j]。两个字符串也可能存在最长公共子序列， dp[i][j] =Math.max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]) 3.dp数组初始化 对dp数组第一行和第一列初始化 text1若有元素等于text2[0],则当前dp[i][0]以及第一行后面元素都置为1 text2若有元素等于text1[0],则当前dp[0][i]以及第一列后面元素都置为1 4.遍历顺序，dp[i]由dp[i-1]推导，故正序 5.举例推导dp数组 时间复杂度: O(n * m) 空间复杂度: O(n * m)
代码如下
public static void main(String srgs[]) {
String abcde = "abcde";
String ace = "ace";
longestCommonSubsequence(abcde, ace);
}
public static int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
if (text1 == null || text2 == null)
return 0;
char[] t1 = text1.toCharArray();
char[] t2 = text2.toCharArray();
int[][] dp = new int[t1.length][t2.length];
boolean flag = false;
for (int i = 0; i < t1.length; i++) {// 初始化dp数组
if (t1[i] == t2[0]) {
dp[i][0] = 1;
flag = true;
}
if(flag)
dp[i][0] = 1;
}
flag = false;
for (int j = 0; j < t2.length; j++) {
if (t2[j] == t1[0]) {
dp[0][j] = 1;
flag = true;
}
if(flag)
dp[0][j] = 1;
}
for (int i = 1; i < t1.length; i++) {
for (int j = 1; j < t2.length; j++) {
if (t1[i] == t2[j]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
}
}
}
return dp[t1.length-1][t2.length-1];
}
优化
二刷时采用另一种定义dp数组的方式
dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
这样定义是为了后面代码实现方便，如果非要定义为长度为[0, i]的字符串text1也可以，，其实就是简化了dp数组第一行和第一列的初始化逻辑。
代码如下
public static int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
if (text1 == null || text2 == null)
return 0;
char[] t1 = text1.toCharArray();
char[] t2 = text2.toCharArray();
int[][] dp = new int[t1.length + 1][t2.length + 1];
for (int i = 1; i <= t1.length; i++) {
for (int j = 1; j <= t2.length; j++) {
if (t1[i-1] == t2[j-1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
}
}
}
return dp[t1.length][t2.length];
}
1035.不相交的线
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我们在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 A 和 B 中的整数。
现在，我们可以绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且我们绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
以这种方法绘制线条，并返回我们可以绘制的最大连线数。
思路
思路：动态规划
动态规划五部曲
题目的本质是求两个字符串中，最长公共子序列的长度
绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且直线不能相交！
直线不能相交，这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。
拿示例一A = [1,4,2], B = [1,2,4]为例，相交情况如图：
其实也就是说A和B的最长公共子序列是[1,4]，长度为2。 这个公共子序列指的是相对顺序不变（即数字4在字符串A中数字1的后面，那么数字4也应该在字符串B数字1的后面）
这么分析完之后，大家可以发现：本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！
跟【最长公共子序列】的思路以及代码解法是一样的1.定义dp数组以及下标含义 定义二维dp数组dp[i][j] 表示以nums1[i]和nums2[j]为结尾数组中，可以绘制的最大连线数 2.推导递推公式 if nums1[i] == nums2[j] dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 if nums1[i] != nums2[j] dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]); 3.dp数组初始化 对dp数组第一行和第一列初始化 nums1[i]若有元素等于nums2[0],则当前dp[i][0]以及第一行后面元素都置为1 nums2[j]若有元素等于nums1[0],则当前dp[0][j]以及第一列后面元素都置为1 4.遍历顺序 由递推公式可得从小到大遍历 5.举例推导dp数组
代码如下
//时间复杂度: O(n * m)
//空间复杂度: O(n * m)
public static void main(String args[]) {
int[] nums1 = new int[]{1, 3, 7, 1, 7, 5};
int[] nums2 = new int[]{1, 9, 2, 5, 1};
maxUncrossedLines(nums1, nums2);
}
public static int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
if (nums1 == null || nums2 == null)
return 0;
int[][] dp = new int[nums1.length][nums2.length];// dp数组初始化
if (nums1[0] == nums2[0])
dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i < nums1.length; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0];
if (nums1[i] == nums2[0] && dp[i - 1][0] == 0)
dp[i][0] = 1;
}
for (int j = 1; j < nums2.length; j++) {
dp[0][j] = dp[0][j - 1];
if (nums2[j] == nums1[0] && dp[0][j - 1] == 0)
dp[0][j] = dp[0][j - 1] + 1;
}
for (int i = 1; i < nums1.length; i++) {
for (int j = 1; j < nums2.length; j++) {
if (nums1[i] == nums2[j]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[nums1.length - 1][nums2.length - 1];
}
53.最大子序和
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给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
示例:
- 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
- 输出: 6
- 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
思路
思路：动态规划 在dp数组定义上思考了半天 到底是定义【以i为结尾的连续子数组】，还是定义【以i为结尾的数组，从中找到最大得连续子数组】 看了题解才确定下来 其次递推公式也不好想 1.dp数组以及下标代表含义 定义dp[i]表示，以i为结尾的连续子数组(结尾为i)最大和 2.确定递推公式 题目要求找到最大和的连续子数组 以i为结尾的连续子数组最大和有两种方式求得 两种方式区别在于dp[i-1]值大于或小于0 第一种方式：dp[i] = dp[i-1] + nums[i] 这种方式容易想到. 举例如下： 1，2，3，-1 或者 1，2，3，4 第二种方式：dp[i] = nums[i] 不容易想到 举例如下：-1，-2，-3，-4 或者 -1，-2，-3，4 dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i],nums[i]) 3.dp数组初始化 4.遍历顺序，dp[i]由dp[i-1]推导，故正序 5.举例推导dp数组 时间复杂度o(n) 空间复杂度o(n)
代码如下
public static void main(String args[]) {
int[] nums1 = new int[]{-2, -1};
maxSubArray(nums1);
}
public static int maxSubArray(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0)
return 0;
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = nums[0];
int result = nums[0];
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
if(dp[i] > result)
result = dp[i];
}
return result;
}
问题
二刷时，只能想出暴力算法的完整思路。动态规划只能想出Dp数组的定义【以i为结尾的连续子数组】
无法想出递推公式的解法
由于dp[i]的定义是【以i为结尾的连续子数组】，所以nums[i]肯定会加入dp[i].
dp[i] 和dp[i-1]有什么关联呢？
当dp[i-1]<=0,dp[i] = nums[i] ，当dp[i-1]>0,dp[i] = nums[i] + dp[i - 1]
一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);