MIT 线性代数 22 对角化和A的幂，差分方程的线性代数解法

一.对角化和矩阵的幂次计算

假设矩阵有个线性无关的特征向量，且特征值分别是,这些特征向量按列组成特征向量矩阵
则

（称为对角特征值矩阵）

强调一遍，并不是所有的矩阵都会有n个线性无关的特征向量，关于这一点，我们在上一节就发现了一些无法求解出多个不同的线性无关特征向量的矩阵

也就是
我们可以写成如下形式
这就是矩阵的对角化方法

或

其中我们把 这是一个新的矩阵分解方法，我们之前消元的时候有分解，以及施密特正交化的分解

如果我们尝试对的幂次方做计算，比如A的平方

于是同理可得有

也就是的这种特征值对角化分解方式对于求的幂次计算非常方便

二.差分方程线性代数解法

给定差分方程



这样的问题，当可对角化时，即存在个 不同的特征向量以及对应的特征值的情况下，即A是满秩的，也是可逆的
那么很显然可以把 用A的特征向量进行线性组合表示，

于是
其中是矩阵的特征向量
,其中表示矩阵的各个特征向量对应的特征值
于是我们得到

这里举了一个斐波那契数列的例子
众所周知，斐波那契数列排列方式是，

即有

问题是如何求解

参考前面的例子我们可以这么写
追加一个等式得到方程组


如果我们令向量
于是就会有

也就是

其中特征矩阵c

令
马上可以求出特征值是
其特征向量即的零空间 有

由前面的推论我们知道,特征向量和,进行线性组合能得到
所以
而A又是可对角化的矩阵，所以

我们注意到第二项为负数，意味着平方后这一项整体收敛到无穷小，这意味着数组系列的取值基本上由决定

因为

于是可以解出

,,

于是我们甚至求出了斐波那契数列的通项公式

我们只看下面的的展开

这就是斐波那契数列的通项公式