2019-07-05 Seminar (interlude：Some mathematics)

这周的组会是让组里对数学比较熟悉的同学帮大家回忆，整理一下基本的数学知识，主要是复分析的内容，涵盖了harmonic function，holomorphic function 到 meromorphic function 的一些性质。当然这些内容在数学里面有自己的一套可以理解的体系，但还是希望能找到一条可以把它们纳入自己知识体系的路。学习这些内容还是因为要更好的理解spectral curve的。

这次的总结就随便写一些最近的胡乱想法也就是些胡言乱语。
spectral curve这个角度似乎是提供了另外一个看待物理系统，狭义上来说是可积系统的角度。如何搞清楚了这个图像，是不是就可以推广到一般的系统了呢？
图像就是，不从传统的Hamiltonian或者Lagrangian的角度出发，而是直接从系统的解空间（相空间？Hilbert space？）出发。如果不考虑动力学，只考虑解空间本身，那么这个解空间就对应了Kinematic的部分，或者说用来label系统的解的量构成的空间。比如对于粒子，这个空间就可能有动量还有自旋，或者其他charges来构成。最简单的考虑一个colorless的相对论粒子，就是动量，但是定义动量似乎是需要先定义一个粒子运动的背景（时间，空间）。能不能有一个intrinsic的量来刻画粒子，比如worldline，这样的话粒子就被一个抽象的curve来label，那么不等价的curve就对应了不同的粒子的解。所以我们有 set{粒子解}=set{curve}/~, 是不是就可以把这个curve的moduli space当做粒子的moduli space。这背后的逻辑是量子力学的逻辑：所有的量子态是由quantum number来label的，quantum number也就是守恒量。但是经典的系统的解，一般不存在用来刻画解的守恒量，除非是可积系统。从这个角度看，可积系统和量子系统很像，就是解空间很简单。等一等，可以往回想一下，一般说经典系统的解空间就是相空间，是动量和坐标和在一起的空间，里面有一个辛结构。在任意的一个局域区域内这个新结构都可以取成一个标准型dp wedge dx，就是说在任意一个局域空间里，总是有一组好的动量坐标，然后动力学是trivial的。我们可以把整个相空间分成一个一个的patch，然后再每个patch上都系统都是可积的。这样就回到了之前的想法，唯一剩下需要解决的问题是如何把不同的patch拼起来。其实我这里可以自然引入一个新的参数来刻画系统：“genus”，可以定义为patch数目的下界，也就是包裹整个相空间所需要的最少的patch数目，所以这个“genus”就衡量了系统的混乱度。这里我们能不能也做一个对genus的微扰，然后微扰的定义经典力学。就和微扰地定义弦论一样。其实每一个patch本身都是一个n-torus，因为每一个守恒量都定义了一个angle variable。这样来看我们的问题如何用n-torus 来覆盖一个一般的2n维空间。比如谐振子的话，n-torus 就是一个圆环，然后相空间是一个平面，这个覆盖是唯一的。