【图形学】直线光栅化算法(DDA算法，Bresenham算法和中点算法)

在数学上,直线就是由无穷多个点组成的, 在计算机屏幕显示的话, 需要做一些处理,对于光栅显示器，就是用有限多个点去逼近直线, 我们需要知道每一个像素点的坐标(都是整数)

数学上直线的方程如下 $y=kx+b$，给定直线的起点坐标$P_0(x_0,y_0)$终点坐标$P_1(x_1,y_1)$水平方向的位移$\Delta x=x_1-x_0$垂直方向的位移$\Delta y=y_1-y_0$ 在直线的光栅化算法中要通过 $\Delta x和\Delta y$ 的大小来确定绘图的主位移方向，主位移方向执行 $\pm 1$

条件	主方向
$$\Delta x>\Delta y$$	x方向
$$\Delta x=\Delta y$$	x方向或y方向
$$\Delta x<\Delta y$$	y方向

DDA算法

直线的斜截式方程用微分的形式表示为$\frac{dy}{dx}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=k$
那么可以得到直线上的像素点$P_{i+1}和P_i$的递推关系
$$\{\begin{array}{l}{x}_{i+1}=x_i+\Delta x\\ y_{i+1}=y_i+\Delta y=y_i+k\Delta x\end{array}$$
以斜率$0\le k<1$为例，有 $\Delta x>\Delta y$ ,主方向是x，那么上面的式子就变成了
$$\{\begin{array}{l}{x}_{i+1}=x_i+1\\ y_{i+1}=y_i+k\end{array}$$
设点$E(x_i+1,y_i+k)$是理想直线和线$x_{i+1}=x_i+1的交点$那么用来逼近这个点的可能的像素点有两个$D(x_i+1,yi+1)和C(x_i+1,y_i)$具体选择那个，就根据k的值确定(？$y_i+k$四舍五入？$y_{i+1}=int($y_i+k+0.5$)$)

下面给出DDA算法画任意斜率直线的主要代码

void CLine::DrawLine(CDC* pDC)
{
    int dx = m_p2.x - m_p1.x;//m_p1,m_p2(CPoint)
    int dy = m_p2.y - m_p1.y;
    double k = (double)(dy) / (double)(dx);  //斜率

    //确定主方向
    int e = abs(k) > 1 ? abs(dy) : abs(dx);
    double xadd = (double)(dx) / (double)(e);
    double yadd = (double)(dy) / (double)(e);
    double x = (double)(m_p1.x);
    double y = (double)(m_p1.y);
    for (int i = 0; i <= e; i++) {
        pDC->SetPixel((int)(x + 0.5), (int)(y + 0.5), RGB(0, 0, 0));
        x += xadd;
        y += yadd;
    }
}

Bresenham算法

Bresenham算法在主位移方向上也是移动一个单位，另一个方向移动0还是1取决于像素点和理想直线的距离d
还是以斜率$0\le k<1$为例，x方向是主位移方向，点$Q(x_{i+1},y_{i+1})$是理想直线和$x_{i+1}=x_i+1$的交点，两个可能的像素的$P_{up}(x_i,y_i+1)和P_{down}(x_i,y_i)$,选那一个就取决于Q点和$P_{down}$的距离$d_{i+1}$,对于误差项d的计算向x方向递增1个单位就有$d_{i+1}=d_i+k$，如果向y方向递增一个单位就还要减1。
$$\begin{gathered} d_0=0 \\ {y}_{i+1}=\{\begin{array}{l}{y}_i+1,d_{i+1}\ge 0.5\\ y_i,d_{i+1}<0.5\end{array} \end{gathered}$$
不过通常不是用误差项d进行计算，取一个变量e,$e_0=-\Delta x$,沿x方向每递增一个单位就有$e_{i+1}=e_i+2\Delta y$,当$e_{i+1}\ge 0$时下一个像素点就是($x_i+1,y_i+1$),并且要更新$e_{i+1}=e_{i+1}-2\Delta x$;否则下一个像素点就是($x_i+1,y_i$)。

原始的Bresenham只能画指向第一象限并且斜率小于1的直线，但实际有这么多种情况，但是别慌，可以利用直线的对称性解决。

对于相同象限, 斜率不同的情况, 其实就是将斜率在0到1之间的线作关于函数y = x 对称而得到。对应到代码中就是将所有的y和所有的x调换位置。比如,$e_0=-\Delta y$ $e_{i+1}=e_i+2\Delta x$,当$e_{i+1}\ge 0$时下一个像素点就是($x_i+1,y_i+1$),并且要更新$e_{i+1}=e_{i+1}-2\Delta y$;否则下一个像素点就是($x_i+1,y_i$)。
下面给出通用的Bresenham算法

void CLine::DrawLine(CDC* pDC)
{
    int dx = abs(m_p2.x - m_p1.x);//m_p1,m_p2(CPoint)
    int dy = abs(m_p2.y - m_p1.y);
    double k = (double)(dy) / (double)(dx);  //斜率
	BOOL wayChange = FALSE;//主方向是否发生改变，默认是x方向
	int e,mainway,subway;
	e = -dx;
	mainway = dx;
	subway = dy;
	int addx, addy;
	addx = (m_p2.x > m_p1.x) ? 1 : ((m_p2.x < m_p1.x) ? -1 : 0);
	addy = (m_p2.y > m_p1.y) ? 1 : ((m_p2.y < m_p1.y) ? -1 : 0);
	if (dy > dx) {//主方向是y
		mainway = dy;
		subway = dx;
		wayChange = TRUE;
	}
	CPoint p = m_p1;
	for (int i = 0; i <= mainway; i++) {
		pDC->SetPixel(p, RGB(0, 255, 0));
		if (wayChange)
			p.y += addy;
		else
			p.x += addx;
		e += 2 * subway;
		if (e >= 0) {
			if (wayChange)
				p.x += addx;
			else
				p.y += addy;
			e -= 2 * mainway;
		}
	}
}

中点算法

以第一象限斜率$0\le k<1$的直线为例。
直线的隐函数方程可以表示为$$F(x,y)=y-kx-b=0$$

$$A(x_i,y_i),C(x_i+1,y_i+1),D(x_i+1,y_i),E(x_i+1,y_i+0,5)$$
将点E带入直线的隐函数方程有$$\begin{gathered} d_i=F(x_i+1,y_i+0.5)= \\ {y}_i+0.5-k(x_i+1)-b \end{gathered}$$
同判断$d_i$的正负就可以知道点E在直线的下方还是上方，从而确定选择点C还是选择点D
$$\begin{array}{c}{y}_{i+1}=\{\begin{array}{r}{y}_i+1d_i<0\\ y_i{d}_i\ge 0\end{array}\end{array}$$
接下来就是求中点误差项d的递推公式
$$\begin{gathered} d_0=0.5-k \\ 当d_i<0时选择了点C(x_i+1,y_i+1)下一步要进行判断的中点就是M(x_i+2,y_i+1.5),带入直线方程就是d_{i+1}=d_i+1-k当d_i>=0时选择了点D(x_i+1,y_i),下一步要进行判断的中点就是M(x_i+2,y_i+0.5)带到直线方程就是d_{i+1}=d_i-k \end{gathered}$$
求出来了中点误差项，但这并不是我们想要的，因为这个递推是中有小数(0.5，k),我们需要的是进行整数运算。
这里引入新的值e
$$\begin{gathered} e_0=\Delta x-2\Delta y \\ 当e_i<0时e_{i+1}=e_i+2\Delta x-2\Delta y \\ 当e_i\ge 0时e_{i+1}=e_i-2\Delta y \end{gathered}$$

下面是通用的中点算法

void CLine::DrawLine(CDC* pDC)
{
	int dx = abs(m_p2.x - m_p1.x);//m_p1,m_p2(CPoint)
	int dy = abs(m_p2.y - m_p1.y);
	BOOL wayChange = FALSE;//主方向是否发生改
	int e, mainway, subway;
	
	mainway = dx;
	subway = dy;
	int addx, addy;
	addx = (m_p2.x > m_p1.x) ? 1 : ((m_p2.x < m_p1.x) ? -1 : 0);
	addy = (m_p2.y > m_p1.y) ? 1 : ((m_p2.y < m_p1.y) ? -1 : 0);
	if (dy > dx) {//主方向是y
		mainway = dy;
		subway = dx;
		wayChange = TRUE;
	}
	e =mainway-2*subway;
	CPoint p = m_p1;
	for (int i = 0; i < mainway; i++) {
		pDC->SetPixel(p, RGB(0, 255, 0));
		if (wayChange)
			p.y += addy;
		else
			p.x += addx;
		e -= 2 * subway;
		if (e <  0) {
			if (wayChange)
				p.x += addx;
			else
				p.y += addy;
			e += (2 * mainway - 2 * subway);
		}
	}
}