【差分数组】【图论】【分类讨论】【整除以2】100213按距离统计房屋对数目

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本文涉及知识点

差分数组 图论 分类讨论 整除以2

LeetCode100213按距离统计房屋对数目

给你三个 正整数 n 、x 和 y 。
在城市中，存在编号从 1 到 n 的房屋，由 n 条街道相连。对所有 1 <= i < n ，都存在一条街道连接编号为 i 的房屋与编号为 i + 1 的房屋。另存在一条街道连接编号为 x 的房屋与编号为 y 的房屋。
对于每个 k（1 <= k <= n），你需要找出所有满足要求的 房屋对 [house1, house2] ，即从 house1 到 house2 需要经过的 最少 街道数为 k 。
返回一个下标从 1 开始且长度为 n 的数组 result ，其中 result[k] 表示所有满足要求的房屋对的数量，即从一个房屋到另一个房屋需要经过的 最少 街道数为 k 。
注意，x 与 y 可以 相等 。
示例 1：
输入：n = 3, x = 1, y = 3
输出：[6,0,0]
解释：让我们检视每个房屋对

• 对于房屋对 (1, 2)，可以直接从房屋 1 到房屋 2。
• 对于房屋对 (2, 1)，可以直接从房屋 2 到房屋 1。
• 对于房屋对 (1, 3)，可以直接从房屋 1 到房屋 3。
• 对于房屋对 (3, 1)，可以直接从房屋 3 到房屋 1。
• 对于房屋对 (2, 3)，可以直接从房屋 2 到房屋 3。
• 对于房屋对 (3, 2)，可以直接从房屋 3 到房屋 2。
  示例 2：
  输入：n = 5, x = 2, y = 4
  输出：[10,8,2,0,0]
  解释：对于每个距离 k ，满足要求的房屋对如下：
• 对于 k == 1，满足要求的房屋对有 (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), 以及 (5, 4)。
• 对于 k == 2，满足要求的房屋对有 (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 5), 以及 (5, 3)。
• 对于 k == 3，满足要求的房屋对有 (1, 5)，以及 (5, 1) 。
• 对于 k == 4 和 k == 5，不存在满足要求的房屋对。
  示例 3：
  输入：n = 4, x = 1, y = 1
  输出：[6,4,2,0]
  解释：对于每个距离 k ，满足要求的房屋对如下：
• 对于 k == 1，满足要求的房屋对有 (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), 以及 (4, 3)。
• 对于 k == 2，满足要求的房屋对有 (1, 3), (3, 1), (2, 4), 以及 (4, 2)。
• 对于 k == 3，满足要求的房屋对有 (1, 4), 以及 (4, 1)。
• 对于 k == 4，不存在满足要求的房屋对。

分类讨论

x,y从1开始，x–,y–让其从0开始。如果x> y，交换x和y。
如果xy，直接处理：{(n-1)*2,(n-2)2…}
题目要计算的是：除了起点和终点外，经过的房屋数。
起点i和终点j相同，不统计。
起点和终点互换，需要统计。可以只统计起点<终点，最后将结果2。
整个路径可以四个节点i,x,y,j表示。
一，各节点最多出现1次，否则有环，将环删除。
二，i,j 必定出现1次，x和y要么都出现1次，要么不出现。
三，第一个节点必定是i,最后一个节点必定是j。
理论上有六种可能，实际上只有五种：
一，i $\to$ j。
二，i $\to$ x $\to$ y $\to$ j。
三，i $\to$ y $\to$ x $\to$ j。这中可能不存在：
$$\{\begin{array}{ll}到y之前已经到达终点,& j<=y\\ y\to x\to y这段路程是多走的& j>y\end{array}$$
四, x == i,y == i 结果是0。 x $\to$ y
五，xi,y不等于j。 x $\to$ y $\to$ j
六，x!=i,y等于j。 i $\to$ x $\to$ y

第一种可能经过的房屋数（不包括起点终点）：j-i-1
第二种情况，x==y，无需做特殊处理，会被淘汰。x < y时。
abs(x-i)+ abs(j-y) $\to$ abs(x-i)+abx(j-y)
$$\{\begin{array}{llc}i-x+j-y& i>x,j>y& 一\\ i-x& i>x,j==y& 二\\ i-x+y-j& x>i,j<y& 三\\ x-i+j-y& i<x,j>y& 四\\ x-i& i<x,j==y& 五\\ x-i+y-j& i<x,j<y& 六\\ j-y& i==x,j>y& 七\\ 0& i==x,j==y& 八\\ y-j& i==x,j<y& 九\end{array}$$

一，二，七，八 可以合并，合并后 i >=x j >= y 。 四五可以合并，i < x ,j >=y 三九也可以合并。合并i >=x ,j $$\{\begin{array}{llc}i-x+j-y& i>=x,j>=y& 一\\ i-x+y-j& x>=i,j<y& 三\\ x-i+j-y& i<x,j>=y& 四\\ x-i+y-j& i<x,j<y& 六\end{array}$$

我们枚举i，计算j，故x,y,i可以看做常数，可以求出相等的临界值的j。
情况二一：
i-x + j- y <= j - i -1 $\to$ 2i -x - y <= -1 $\to$ 2i <= x+y-1 $\to$
$$\{\begin{array}{ll}i\to x\to y\to j& 2\ast i<=x+y-1\\ i\to j& else\end{array}$$
和j无关

情况二三：
i-x +y-j <= j - i -1 $\to$ 2*(i-j) -x + y <= -1 $\to$ -2j <= x - y - 2i -1注意除以-1，大于会变小于。$\to$ 2j >= y-x+2i+1 $\to$ j >= (y-x)/2 + i +1
$$\{\begin{array}{ll}i\to x\to y\to j& j>=(y-x)/2+i+1\\ i\to j& else\end{array}$$
情况二四：
要想通过x,y 必须 x-i + j- y <= j - i -1 $\to$ x-y <= -1 $\to$ x

情况二六：
要想通过x,y，必须 x-i+y-j <= j - i -1 $\to$ x+y-2j <= -1 $\to$ -2j <= -x-y-1 注意除以-1，大于会变小于。 $\to$ 2j >= x+y+1 $\to$ j>=(x+y+1+1)/2
$$\{\begin{array}{ll}i\to x\to y\to & j>=(x+y+1+1)/2\\ i\to j& else\end{array}$$

y >= 0 整除2的逆运算

2x >= y ，如果y是偶数 等效与 x >= y/2 。如果y是奇数，等效与 x >= (y+1)/2 。两者可以统一为: x >=(y+1)/2 。
2x > y 如果y是偶数 等效与 x > y/2 。如果y是奇数，等效与 x > y/2。两者统一为x > y/2。
2x <= y 可以统一为 x <=y/2。
2x < y 可以统一为：x < ( y+1)/2

代码

核心代码

class Solution {
public:
	vector<long long> countOfPairs(int n, int x, int y) {		
		vector<long long> vRet(n);
		if (x == y)
		{
			vRet.clear();
			for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
			{
				vRet.emplace_back(i * 2);
			}
			return vRet;
		}
		if (x > y )
		{
			swap(x, y);
		}
		x--;
		y--;
		int i = 0;
#define Path1(j) (j - i -1 )
		auto Path2 = [&i,&x,&y]( const int j)
		{
			return abs(i - x) + abs(j - y);
		};
		vector<long long> vDiff(n);
		auto Add = [&](int left, int len)
		{
			if (len <= 0)
			{
				return;
			}
			vDiff[left] += 2 ;
			vDiff[left+len] -= 2 ;
		};
		
		for (; i < x; i++)
		{
			//j 在[y,n)
			const int iy = max(i + 1, y);
			if (n - iy > 0)
			{
				Add(Path2(iy), n - iy);
			}	
			//j在(i,y)
			if( y - i -1 > 0 )
			{//i->x->y-j [j0,y)
				const int j0 = (x + y + 2) / 2;	
				Add(Path2(y-1), y - j0);
				//(i,j0)
				Add(0, j0 - i - 1);
			}
		}
		for (; i < n; i++)
		{
			//j在(max(y-1,i),n)
			if (2*i <= x + y-1)
			{//i->x->y-j
				Add(Path2(max(y-1, i) +1), n - max(y-1, i) -1);
			}
			else
			{
				Add(Path1(max(y-1, i) +1), n - max(y-1, i) -1);
			}
			//j在(i,y)
			if (y - i - 1 > 0)
			{
				int j0 = min(y,(2 * i + y - x + 2) / 2);
				j0 = max(j0, i + 1);
				//if (y - j0 >= 0)
				{
					//j在[j0,y) i->x->y-j 
					Add(Path2(y - 1), y - j0);
					//j在(i,j0)
					Add(0, j0 - i - 1);
				}
			}
		}
		
		long long cur=0;
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			cur += vDiff[i];
			vRet[i] = cur;
		}
		return vRet;
	}
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}

}

int main()
{	
	int n,  x,  y;

	{
		Solution sln;
		n = 6, x = 1, y = 5;
		auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);
		Assert(res, vector<long long>{ 12, 14, 4, 0, 0, 0 });
	}

	{
		Solution sln;
		n = 3, x = 2, y = 2;
		auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);
		Assert(res, vector<long long>{4, 2, 0});
	}

	{
		Solution sln;
		n = 4, x = 1, y = 1;
		auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);
		Assert(res, vector<long long>{6, 4, 2, 0});
	}
	{
		Solution sln;
		n = 5, x = 2, y = 4;
		auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);
		Assert(res, vector<long long>{10, 8, 2, 0, 0});
	}
	
	
	{
		Solution sln;
		n = 3, x = 1, y = 3;		
		auto res = sln.countOfPairs(n,x,y);
		Assert(res, vector<long long>{6, 0, 0});
	}		
	
	{
		Solution sln;
		n = 2, x = 2, y = 2;
		auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);
		Assert(res, vector<long long>{2, 0});
	}
	
	

	
}

扩展阅读

视频课程

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相关下载

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闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。