函数递归(详细易懂)

1. 递归是什么？

递归其实是⼀种解决问题的⽅法，在C语⾔中，递归就是函数⾃⼰调⽤⾃⼰。

写⼀个史上最简单的C语⾔递归代码：

#include 
int main()
{
	printf("hehe\n");
	main();//main函数中⼜调⽤了main函数
	return 0;
}

上述就是⼀个简单的递归程序，只不过上⾯的递归只是为了演⽰递归的基本形式，不是为了解决问题，代码最终也会陷⼊死递归，因为每次调用mian函数都会在栈区开辟空间，导致栈溢出（Stack overflow）。

通过调试可以看到:

递归的思想：
把⼀个⼤型复杂问题层层转化为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的⼦问题来求解；直到⼦问题不能再被拆分，递归就结束了。所以递归的思考⽅式就是把大事化小的过程。

递归中的递就是递推的意思，归就是回归的意思

2. 递归的限制条件

递归在书写的时候，有2个必要条件：

• 递归存在限制条件，当满⾜这个限制条件的时候，递归便不再继续。
• 每次递归调⽤之后越来越接近这个限制条件。

3. 递归举例

3.1 举例1：求n的阶乘

计算n的阶乘（不考虑溢出），n的阶乘就是1~n的数字累积相乘。

3.1.1 分析和代码实现

//5的阶乘
5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5
//也可以表示为
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
//4的阶乘
4! = 4 * 3 * 2 * 1
//3的阶乘
3! = 3 * 2 * 1
//2的阶乘
2! = 2 * 1
//1的阶乘
1! = 1

因此，我们可以得到

5! = 5 * 4!
4! = 4 * 3!
3! = 3 * 2!
2! = 2 * 1!
1! = 1

我们可以得到n的阶乘的公式： n！ = n ∗ (n − 1)!
这里我们不考虑特殊情况，当 n<=1 的时候，n的阶乘是1，其余n的阶乘都是可以通过上述公式计算。n的阶乘的递归公式如下：

那我们就可以写出函数Fact求n的阶乘，假设Fact(n)就是求n的阶乘，那么Fact(n-1)就是求n-1的阶乘，函数如下：

#include 

int Fact(int n)
{
	if (n == 1)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		return n * Fact(n - 1);
	}
}

int main()
{
	int n = 0;
	printf("请输入:>");
	scanf("%d", &n);
	int ret = Fact(n);
	printf("%d! = %d\n", n, ret);
	return 0;
}

运⾏结果（这⾥不考虑n太⼤的情况，n太⼤存在溢出）：

3.1.2 画图推演

注意:

这里其实有一个误区，就是我们很容易把递归的实现过程想象成上图所示，这样思考并不准确，因为，如果我们希望执行Fact(5)这个函数，我们就需要在这个函数里面执行Fact(4)，但这时候在Fac(4)这个函数结束前Fact(5)这个函数并未结束，然后同样的道理，如果我们执行Fact(4)这个函数，就必须执行Fact(3)这个函数，直到我们执行Fact(1)这个函数的时候才结束递推的过程。
然后执行完成Fact(1)函数后，并不会直接运行的到结果，因为Fact(5），Fact(4），Fact(3），Fact(2)这几个函数还没有运行结束，所以Fact(1)结束后，就会执行还未完成的Fact(2)这个函数，因为Fact(1)是在Fact(2)中调用的，同样的道理，在Fact(2)函数结束之后就会运行剩余未执行完的Fact(5），Fact(4），Fact(3）函数，直到Fact(5)运行结束后回归才完成，递归才停止。

准确的过程应该如下图：

3.2 举例2：顺序打印⼀个整数的每⼀位

输⼊⼀个整数m，打印这个按照顺序打印整数m的每⼀位。
⽐如：
输⼊：1234 输出：1 2 3 4
输⼊：520 输出：5 2 0

3.2.1 分析和代码实现

这个题⽬，放在我们⾯前，⾸先想到的是，怎么得到这个数的每⼀位呢？

如果n是⼀位数，n的每⼀位就是n⾃⼰
n是超过1位数的话，就得拆分每⼀位

1234%10就能得到4，然后1234/10得到123，这就相当于去掉了4然后继续对123%10，就得到了3，再除10去掉3，以此类推不断的 %10 和 \10 操作，直到这个数字变成0，1234的每⼀位都得到；

#include 
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	while (n)
	{
		printf("%d ", n % 10);
		n /= 10;
	}
}

运行结果：

但是这⾥有个问题就是得到的数字顺序是倒着的，不过我们有了灵感，我们发现其实⼀个数字的最低位是最容易得到的，通过%10就能得到。

那我们假设想写⼀个函数Print来打印n的每⼀位，如下表⽰：

//我们可以拆分这个问题
Print(1234)
//1. 打印1234的每一位 --> Print(123) （1234 / 4) 
//2. 打印printf(4) （1234 % 10）
//那么Print(123)⼜可以拆分为Print(123/10) + printf(123%10)
//那么Print(12)⼜可以拆分为Print(12/10) + printf(12%10)
//最后Print(1)直接输出即可

以此类推下去，就有

 Print(1234)
==>Print(123) + printf(4)
==>Print(12) + printf(3)
==>Print(1) + printf(2)
==>printf(1)

直到被打印的数字变成⼀位数的时候，就不需要再拆分，递归结束。

那么代码完成也就⽐较清楚：

#include 

void Print(int n)
{
	if (n <= 9)
	{
		printf("%d ", n);
	}
	else
	{
		Print(n / 10);
		printf("%d ", n % 10);
	}
}

int main()
{
	int n = 0;
	printf("请输入,你要打印的数字:>");
	scanf("%d", &n);
	Print(n);

	return 0;
}

这个代码还可以简化为:

void Print(int n)
{
	if (n > 9)
	{
		Print(n / 10);
	}
	printf("%d", n % 10);
}


int main()
{
	int n = 0;
	printf("请输入,你要打印的数字:>");
	scanf("%d", &n);
	Print(n);

	return 0;
}

在这个解题的过程中，我们就是使⽤了⼤事化⼩的思路
把Print(1234) 打印1234每⼀位，拆解为⾸先Print(123)打印123的每⼀位，再打印得到的4
把Print(123) 打印123每⼀位，拆解为⾸先Print(12)打印12的每⼀位，再打印得到的3
直到Print打印的是⼀位数，直接打印就⾏。

3.2.2 画图推演

以1234每⼀位的打印来推演⼀下

递归往往只有少量代码，却完成了大量的运算！
注意：
每一次函数调用都会向栈区申请一块空间，这一块空间主要是用来存放函数中的局部变量，和函数上下文的信息，这一块空间一般叫：函数的运行时堆栈，也叫函数栈帧空间，编译器会根据需要开辟空间。

4. 递归与迭代

#include 

int Fact(int n)
{
	if (n == 1)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		return n * Fact(n - 1);
	}
}

int main()
{
	int n = 0;
	printf("请输入:>");
	scanf("%d", &n);
	int ret = Fact(n);
	printf("%d! = %d\n", n, ret);
	return 0;
}

Fact函数是可以产⽣正确的结果，但是在递归函数调⽤的过程中涉及⼀些运⾏时的开销。在C语⾔中每⼀次函数调⽤，都要需要为本次函数调⽤在栈区申请⼀块内存空间来保存函数调⽤期间的各种局部变量的值，这块空间被称为运⾏时堆栈，或者函数栈帧。

函数不返回，函数对应的栈帧空间就⼀直占⽤，所以如果函数调⽤中存在递归调⽤的话，每⼀次递归函数调⽤都会开辟属于⾃⼰的栈帧空间，直到函数递归不再继续，开始回归，才逐层释放栈帧空间。

所以如果采⽤函数递归的⽅式完成代码，递归层次太深，就会浪费太多的栈帧空间，也可能引起栈溢（stack overflow）的问题。

所以如果不想使⽤递归就得想其他的办法，通常就是迭代的⽅式（通常就是循环的⽅式）。

⽐如：计算n的阶乘，也是可以产⽣1~n的数字累计乘在⼀起的。

#include 

int Fact(int n)
{
	int i = 0;
	int sum = 1;
	//循环产生1~n的数字
	for (i = 0; i <= n; i++)
	{
		sum *= i;
	}
	return sum;
}

int main()
{
	int n = 0;
	printf("请输入:>");
	scanf("%d", &n);
	int ret = Fact(n);
	printf("%d! = %d\n", n, ret);
	return 0;
}

运行结果：

上述代码是能够完成任务，并且效率是⽐递归的⽅式更好的。

事实上，我们看到的许多问题是以递归的形式进⾏解释的，这只是因为它⽐⾮递归的形式更加清晰，
但是这些问题的迭代实现往往⽐递归实现效率更⾼。

当⼀个问题⾮常复杂，难以使⽤迭代的⽅式实现时，此时递归实现的简洁性便可以补偿它所带来的运
⾏时开销。

举例3：求第n个斐波那契数
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列， 斐波那契数列是一个数字序列，其中每个数字是前两个数字的总和，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……

因为，从第二个斐波那契数列开每一个数都是前两个数字之后，所以，我们很容易得到公式：

看到这公式，很容易诱导我们将代码写成递归的形式，如下所⽰：

#include 

int Fib(int n)
{
	if (n <= 2)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
	}
}

int main()
{
	int n = 0;
	printf("请输入:>");
	scanf("%d", &n);
	int ret = Fib(n);
	printf("第%d个斐波那契数是%d\n", n, ret);
	return 0;
}

结果如图:

当我们n输⼊为50的时候，需要很⻓时间才能算出结果，这个计算所花费的时间，是我们很难接受的，这也说明递归的写法是⾮常低效的，那是为什么呢？

其实递归程序会不断的展开，在展开的过程中，我们很容易就能发现，在递归的过程中会有重复计算，⽽且递归层次越深，冗余计算就会越多。我们可以作业测试：

#include 

int count = 0;

int Fib(int n)
{
	if (n == 3)
	{
		count++;
	}
	if (n <= 2)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
	}
}

int main()
{
	int n = 0;
	printf("请输入:>");
	scanf("%d", &n);
	int ret = Fib(n);
	printf("第%d个斐波那契数是%d\n", n, ret);
	printf("%d\n",count);
	return 0;
}

结果如图:

这⾥我们看到了，在计算第40个斐波那契数的时候，使⽤递归⽅式，第3个斐波那契数就被重复计算39088169次，这些计算是⾮常冗余的。所以斐波那契数的计算，使⽤递归是⾮常不明智的，我们就得想迭代的⽅式解决。

我们知道斐波那契数的前2个数都1，然后前2个数相加就是第3个数，那么我们从前往后，从⼩到⼤计算就⾏了。

这样就有下⾯的代码：

int Fib(int n)
{
	int a = 1;
	int b = 1;
	int c = 1;
	while (n >= 3)
	{
		c = a + b;
		a = b;
		b = c;
		n--;
	}
	return c;
}

int main()
{
	int n = 0;
	printf("请输入:>");
	scanf("%d", &n);

	int ret = Fib(n);
	printf("第%d个斐波那契数是%d\n", n, ret);

	return 0;
}

运行结果如图:

这里的Fib函数也可以用 for循环实现:

int Fib(int n)
{
	int a = 1;
	int b = 1;
	int c = 1;
	
	int i = 0;
	for (i = 3; i <= n; i++)
	{
		c = a + b;
		a = b;
		b = c;
	}
	return c;
}

迭代的⽅式去实现这个代码，效率就要⾼出很多了。

递归和循环的选择:

1. 如果用递归写代码，非常容易，写出的代码没问题，那就使用递归。
2. 如果使用递归写出的代码，是存在明显缺陷的，那就不能使用递归，要使用迭代的方式出理。