数组和广义表,都用于存储逻辑关系为“一对一”的数据。
数组存储结构,99% 的编程语言都包含的存储结构,用于存储不可再分的单一数据;而广义表不同,它还可以存储子广义表。
本章重点从矩阵的角度讨论二维数组的存储,同时讲解广义表的存储结构以及有关其广度和深度的算法实现。
前面学习数据结构的过程中,总是使用数组作为顺序表的底层实现,给我们一种 "数据结构中,数组的作用就是实现顺序表" 的错误认识。其实,数组的作用远不止于此。
本节将从数据结构的角度讲解数组存储结构。
本节所讲的数组,要将其视为一种存储结构,与平时使用的数组基本数据类型区分开。
一说起数组,我们的印象中数组往往是某一门编程语言中包含的具体数据类型,其实不然。
从本质上讲,数组与顺序表、链表、栈和列队一样,都用来存储具有 "一对一" 逻辑关系数据的线性存储结构。只因各编程语言都默认将数组作为基本数据类型,使初学者对数组有了 "只是基本数据类型,不是存储结构" 的误解。
不仅如此,数组和其他线性存储结构不同,顺序表、链表、栈和队列存储的都是不可再分的数据元素(如数字 5、字符 'a' 等),而数组既可以用来存储不可再分的数据元素,也可以用来存储像顺序表、链表这样的数据结构。
比如说,数组可以直接存储多个顺序表。我们知道,顺序表的底层实现还是数组,因此等价于数组中继续存储数组。这与平时使用的二维数组类似。
根据数组中存储数据之间逻辑结构的不同,数组可细分为一维数组、二维数组、...、n 维数组:
图 1 一维数组存储结构示意图
图 2 二维数组存储结构示意图
注意,无论数组的维数是多少,数组中的数据类型都必须一致。
由此,我们可以得出这样一个结论,一维数组结构是线性表的基本表现形式,而 n 维数组可理解为是对线性存储结构的一种扩展。
数组作为一种线性存储结构,对存储的数据通常只做查找和修改操作,因此数组结构的实现使用的是顺序存储结构。
要知道,对数组中存储的数据做插入和删除操作,算法的效率是很差的。
由于数组可以是多维的,而顺序存储结构是一维的,因此数组中数据的存储要制定一个先后次序。通常,数组中数据的存储有两种先后存储方式:
多维数组中,我们最常用的是二维数组。比如说,当二维数组 a[6][6] 按照列序为主的次序顺序存储时,数组在内存中的存储状态如图 1 所示:
图 1 以列序为主的二维数组存储状态
同样,当二维数组 a[6][6] 按照行序为主的次序顺序存储时,数组在内存中的存储状态如图 2 所示:
图 2 以行序为主的二维数组存储状态
C 语言中,多维数组的存储采用的是以行序为主的顺序存储方式。
通过以上内容,我们掌握了将多维数组存储在一维内存空间的方法。那么,后期如何对指定的数据进行查找和修改操作呢?
当需要在顺序存储的多维数组中查找某个指定元素时,需知道以下信息:
根据存储方式的不同,查找目标元素的方式也不同。如果二维数组采用以行序为主的方式,则在二维数组 anm 中查找 aij 存放位置的公式为:
LOC(i,j) = LOC(0,0) + (i*m + j) * L;
其中,LOC(i,j) 为在内存中的地址,LOC(0,0) 为二维数组在内存中存放的起始位置(也就是 的位置)。
而如果采用以列存储的方式,在 中查找 的方式为:
LOC(i,j) = LOC(0,0) + (i*n + j) * L;
以下给出了采用以行序为主的方式存储三维数组 a[3][4][2] 的 C 语言代码实现,这里不再对该代码进行分析(代码中有详细注释),有兴趣的读者可以自行拷贝运行:
#include
#include
#include
#include
// atoi() #include
// eof() #include
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define OK 1
#define ERROR 0
#define INFEASIBLE -1
#define OVERFLOW 3
#define UNDERFLOW 4
typedef int Status; //Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码,如OK等
typedef int Boolean; //Boolean是布尔类型,其值是TRUE或FALSE
typedef int ElemType;
#define MAX_ARRAY_DIM 8 //假设数组维数的最大值为8
typedef struct {
ElemType *base; //数组元素基址,由InitArray分配
int dim; //数组维数
int *bounds; //数组维界基址,由InitArray分配
int *constants; // 数组映象函数常量基址,由InitArray分配
} Array;
Status InitArray(Array *A,int dim,...)
{
//若维数dim和各维长度合法,则构造相应的数组A,并返回OK
int elemtotal=1,i; // elemtotal是元素总值
va_list ap;
if(dim<1||dim>MAX_ARRAY_DIM)
return ERROR;
(*A).dim=dim;
(*A).bounds=(int *)malloc(dim*sizeof(int));
if(!(*A).bounds)
exit(OVERFLOW);
va_start(ap,dim);
for(i=0; i
{
(*A).bounds[i]=va_arg(ap,int);
if((*A).bounds[i]<0)
return UNDERFLOW;
elemtotal*=(*A).bounds[i];
}
va_end(ap);
(*A).base=(ElemType *)malloc(elemtotal*sizeof(ElemType));
if(!(*A).base)
exit(OVERFLOW);
(*A).constants=(int *)malloc(dim*sizeof(int));
if(!(*A).constants)
exit(OVERFLOW);
(*A).constants[dim-1]=1;
for(i=dim-2; i>=0; --i)
(*A).constants[i]=(*A).bounds[i+1]*(*A).constants[i+1];
return OK;
}
Status DestroyArray(Array *A)
{
//销毁数组A
if((*A).base)
{
free((*A).base);
(*A).base=NULL;
}
else
return ERROR;
if((*A).bounds)
{
free((*A).bounds);
(*A).bounds=NULL;
}
else
return ERROR;
if((*A).constants)
{
free((*A).constants);
(*A).constants=NULL;
}
else
return ERROR;
return OK;
}
Status Locate(Array A,va_list ap,int *off) // Value()、Assign()调用此函数 */
{
//若ap指示的各下标值合法,则求出该元素在A中的相对地址off
int i,ind;
*off=0;
for(i=0; i
{
ind=va_arg(ap,int);
if(ind<0||ind>=A.bounds[i])
return OVERFLOW;
*off+=A.constants[i]*ind;
}
return OK;
}
Status Value(ElemType *e,Array A,...) //在VC++中,...之前的形参不能是引用类型
{
//依次为各维的下标值,若各下标合法,则e被赋值为A的相应的元素值
va_list ap;
Status result;
int off;
va_start(ap,A);
if((result=Locate(A,ap,&off))==OVERFLOW) //调用Locate()
return result;
*e=*(A.base+off);
return OK;
}
Status Assign(Array *A,ElemType e,...)
{
//依次为各维的下标值,若各下标合法,则将e的值赋给A的指定的元素
va_list ap;
Status result;
int off;
va_start(ap,e);
if((result=Locate(*A,ap,&off))==OVERFLOW) //调用Locate()
return result;
*((*A).base+off)=e;
return OK;
}
int main()
{
Array A;
int i,j,k,*p,dim=3,bound1=3,bound2=4,bound3=2; //a[3][4][2]数组
ElemType e,*p1;
InitArray(&A,dim,bound1,bound2,bound3); //构造3*4*2的3维数组A
p=A.bounds;
printf("A.bounds=");
for(i=0; i
printf("%d ",*(p+i));
p=A.constants;
printf("\nA.constants=");
for(i=0; i
printf("%d ",*(p+i));
printf("\n%d页%d行%d列矩阵元素如下:\n",bound1,bound2,bound3);
for(i=0; i
{
for(j=0; j
{
for(k=0; k
{
Assign(&A,i*100+j*10+k,i,j,k); // 将i*100+j*10+k赋值给A[i][j][k]
Value(&e,A,i,j,k); //将A[i][j][k]的值赋给e
printf("A[%d][%d][%d]=%2d ",i,j,k,e); //输出A[i][j][k]
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
p1=A.base;
printf("A.base=\n");
for(i=0; i
{
printf("%4d",*(p1+i));
if(i%(bound2*bound3)==bound2*bound3-1)
printf("\n");
}
DestroyArray(&A);
return 0;
}
运行结果为:
A.bounds=3 4 2
A.constants=8 2 1
3页4行2列矩阵元素如下:
A[0][0][0]= 0 A[0][0][1]= 1
A[0][1][0]=10 A[0][1][1]=11
A[0][2][0]=20 A[0][2][1]=21
A[0][3][0]=30 A[0][3][1]=31
A[1][0][0]=100 A[1][0][1]=101
A[1][1][0]=110 A[1][1][1]=111
A[1][2][0]=120 A[1][2][1]=121
A[1][3][0]=130 A[1][3][1]=131
A[2][0][0]=200 A[2][0][1]=201
A[2][1][0]=210 A[2][1][1]=211
A[2][2][0]=220 A[2][2][1]=221
A[2][3][0]=230 A[2][3][1]=231
A.base=
0 1 10 11 20 21 30 31
100 101 110 111 120 121 130 131
200 201 210 211 220 221 230 231