数据结构与算法教程,数据结构C语言版教程!(第五部分、数组和广义表详解)二

 第五部分、数组和广义表详解

数组和广义表,都用于存储逻辑关系为“一对一”的数据。

数组存储结构,99% 的编程语言都包含的存储结构,用于存储不可再分的单一数据;而广义表不同,它还可以存储子广义表。

本章重点从矩阵的角度讨论二维数组的存储,同时讲解广义表的存储结构以及有关其广度和深度的算法实现。

三、矩阵(稀疏矩阵)压缩存储(3种方式)

数据结构中,提供针对某些特殊矩阵的压缩存储结构。

这里所说的特殊矩阵,主要分为以下两类:

  • 含有大量相同数据元素的矩阵,比如对称矩阵;
  • 含有大量 0 元素的矩阵,比如稀疏矩阵、上(下)三角矩阵;

针对以上两类矩阵,数据结构的压缩存储思想是:矩阵中的相同数据元素(包括元素 0)只存储一个。

1、对称矩阵

数据结构与算法教程,数据结构C语言版教程!(第五部分、数组和广义表详解)二_第1张图片

图 1 对称矩阵示意图

图 1 的矩阵中,数据元素沿主对角线对应相等,这类矩阵称为对称矩阵。

矩阵中有两条对角线,其中图 1 中的对角线称为主对角线,另一条从左下角到右上角的对角线为副对角线。对称矩阵指的是各数据元素沿主对角线对称的矩阵。

结合数据结构压缩存储的思想,我们可以使用一维数组存储对称矩阵。由于矩阵中沿对角线两侧的数据相等,因此数组中只需存储对角线一侧(包含对角线)的数据即可。

对称矩阵的实现过程是,若存储下三角中的元素,只需将各元素所在的行标 i 和列标 j 代入下面的公式:

存储上三角的元素要将各元素的行标 i 和列标 j 代入另一个公式:

最终求得的 k 值即为该元素存储到数组中的位置(矩阵中元素的行标和列标都从 1 开始)。

例如,在数组 skr[6] 中存储图 1 中的对称矩阵,则矩阵的压缩存储状态如图 3 所示(存储上三角和下三角的结果相同):

对称矩阵的压缩存储示意图

图 3 对称矩阵的压缩存储示意图

注意,以上两个公式既是用来存储矩阵中元素的,也用来从数组中提取矩阵相应位置的元素。例如,如果想从图 3 中的数组提取矩阵中位于 (3,1) 处的元素,由于该元素位于下三角,需用下三角公式获取元素在数组中的位置,即:

结合图 3,数组下标为 3 的位置存储的是元素 3,与图 1 对应。

2、上(下)三角矩阵

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图 4 上(下)三角矩阵

如图 4 所示,主对角线下的数据元素全部相同的矩阵为上三角矩阵(图 4a)),主对角线上元素全部相同的矩阵为下三角矩阵(图 4b))。

对于这类特殊的矩阵,压缩存储的方式是:上(下)三角矩阵采用对称矩阵的方式存储上(下)三角的数据(元素 0 不用存储)。

例如,压缩存储图 4a) 中的上三角矩阵,矩阵最终的存储状态同图 3 相同。因此可以得出这样一个结论,上(下)三角矩阵存储元素和提取元素的过程和对称矩阵相同。

3、稀疏矩阵

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图 5 稀疏矩阵示意图

如图 5 所示,如果矩阵中分布有大量的元素 0,即非 0 元素非常少,这类矩阵称为稀疏矩阵。

压缩存储稀疏矩阵的方法是:只存储矩阵中的非 0 元素,与前面的存储方法不同,稀疏矩阵非 0 元素的存储需同时存储该元素所在矩阵中的行标和列标。

例如,存储图 5 中的稀疏矩阵,需存储以下信息:

  • (1,1,1):数据元素为 1,在矩阵中的位置为 (1,1);
  • (3,3,1):数据元素为 3,在矩阵中的位置为 (3,1);
  • (5,2,3):数据元素为 5,在矩阵中的位置为 (2,3);
  • 除此之外,还要存储矩阵的行数 3 和列数 3;

由此,可以成功存储一个稀疏矩阵。

注意,以上 3 种特殊矩阵的压缩存储,除了将数据元素存储起来,还要存储矩阵的行数值和列数值,具体的实现方式后续会介绍 3 种,本节仅需了解矩阵压缩存储的原理。

4、矩阵压缩存储的 3 种方式

对于以上 3 种特殊的矩阵,对阵矩阵和上下三角矩阵的实现方法是相同的,且实现过程比较容易,仅需套用上面给出的公式即可。

稀疏矩阵的压缩存储,数据结构提供有 3 种具体实现方式:

  1. 三元组顺序表;
  2.  行逻辑链接的顺序表;
  3. 十字链表;

稀疏矩阵的三种存储结构,会利用后续的 3 篇文章做重点介绍。


 四、三元组顺序表,稀疏矩阵的三元组表示及(C语言)实现

本节介绍稀疏矩阵的三元组顺序表压缩存储方式。

通过《矩阵的压缩存储》一节我们知道,稀疏矩阵的压缩存储,至少需要存储以下信息:

  • 矩阵中各非 0 元素的值,以及所在矩阵中的行标和列标;
  • 矩阵的总行数和总列数;

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图 1 稀疏矩阵示意图

例如,图 1 是一个稀疏矩阵,若对其进行压缩存储,矩阵中各非 0 元素的存储状态如图 2 所示:

图 2 稀疏矩阵的压缩存储示意图

图 2 的数组中,存储的是三元组(即由 3 部分数据组成的集合),组中数据分别表示(行标,列标,元素值)。

注意,这里矩阵的行标和列标都从 1 开始。

C 语言中,三元组需要用结构体实现,如下所示:

//三元组结构体

typedef struct {

        int i,j;//行标i,列标j

        int data;//元素值

}triple;

由于稀疏矩阵中非 0 元素有多个,因此需要建立 triple 数组存储各个元素的三元组。除此之外,考虑到还要存储矩阵的总行数和总列数,因此可以采用以下结构表示整个稀疏矩阵:

#define number 20

//矩阵的结构表示

typedef struct {

        triple data[number];//存储该矩阵中所有非0元素的三元组

        int n,m,num;//n和m分别记录矩阵的行数和列数,num记录矩阵中所有的非0元素的个数

}TSMatrix;

可以看到,TSMatrix 是一个结构体,其包含一个三元组数组,以及用于存储矩阵总行数、总列数和非 0 元素个数的变量。

假设采用 TSMatrix 结构体存储图 1 中的稀疏矩阵,其 C 语言实现代码应该为:

#include

#define number 3

typedef struct {

        int i,j;

        int data;

}triple;

typedef struct {

        triple data[number];

        int n,m,num;

}TSMatrix;

//输出存储的稀疏矩阵

void display(TSMatrix M);

int main() {

        TSMatrix M;

        M.m=3;

        M.n=3;

        M.num=3;

        M.data[0].i=1;

        M.data[0].j=1;

        M.data[0].data=1;

        M.data[1].i=2;

        M.data[1].j=3;

        M.data[1].data=5;

        M.data[2].i=3;

        M.data[2].j=1;

        M.data[2].data=3;

        display(M);

        return 0;

}

void display(TSMatrix M){

        for(int i=1;i<=M.n;i++){

                for(int j=1;j<=M.m;j++){

                        int value =0;

                        for(int k=0;k

                                if(i == M.data[k].i && j == M.data[k].j){

                                        printf("%d ",M.data[k].data);

                                        value =1;

                                        break;

                                }

                        }

                        if(value == 0)

                                printf("0 ");

                }

                printf("\n");

        }

}

输出结果为:

1 0 0
0 0 5
3 0 0

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