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1
公理V，它断定了如下两个命题之间的等价：
（Va）对于每一个主目，函数F与函数G有同样的值。
（Vb）函数F的值域（value-range）等于函数G的值域。
如我们已经看到的，弗雷格关于函数值域的观念是他关于概念外延的观念的推广。（Va）和（Vb）于是生成如下一个特例：
（Ca）概念F像概念G一样，适用于同样的对象（也就是说，无论什么东西，只要处于概念F之下，就处于概念G之下，反之亦然）。
（Cb）概念F的外延等于概念G的外延。
让我们直接注意（Ca）和（Cb）之间的类似——或者更为一般地，（Va）和（Vb），以及（Na）和（Nb），也就是由康托尔—休谟原则所断定的那种等价关系。换句话说，公理V与康托尔—休谟原则有恰好相同的形式。如弗雷格所看到的，公理V确保了每一个（合法的）概念都有外延，正如同康托尔—休谟原则确保了每一个数词都有Bedeutung一样。
就其出现在弗雷格系统的情形而言，罗素悖论现在可陈述如下。
如果每一个概念都相对于所有对象来定义（如我们已经看到的，这就是弗雷格的主张），那么，每一个概念都可以看作是把所有对象划分成两类：那些处于它之下的对象，和那些不处于它之下的对象。如果概念的外延是对象（弗雷格假定它们是如此，就像数一样），那么，外延本身也可以划分成两类：那些处于该概念之下并且它们是其外延的外延（例如概念是一个外延的外延），和那些不处于该概念之下并且它们本身不是其外延的外延（例如，概念是一匹马的外延）。
但是，现在考虑概念是一个并不处于它自身之下的概念的外延。这个概念的外延是否处于该概念之下？如果它处于该概念之下，则它不处于该概念之下；如果它不处于该概念之下，则它处于该概念之下。我们已经得出了一个矛盾：这就是罗素悖论。
现在考虑下述情形：概念F和概念G是同一的。那么，它们有同样的外延，于是（Cb）是真的。但是，如果该概念是是一个并不处于它自身之下的概念的外延，那么，情况就不会是这样：任何处于这个概念（概念F）之下的东西也处于这个概念（概念G）之下，就如同它自己的外延的反例所表明的，因此（Ca）是假的。公理V断定了（Ca）和（Cb）之间的等价关系，因此也是假的。弗雷格试图把公理V视为一个逻辑真理，但它远不是一个逻辑真理，甚至根本不是一个真理！
究竟哪里出了错？在我看来，应该对悖论负责的是下述假定：概念的外延是与处于该概念之下的那些对象同类型的——或处在同一层次上的——对象。如我早先说过的，像康托尔—休谟原则这样的原则现在可以叫做“抽象原则”，公理V也是一个抽象原则。尽管康托尔—休谟原则可以看作是一个好的抽象原则，不过，公理V似乎是一个坏原则。在公理V中特别成问题的，至少按弗雷格的理解，是下述假定：已被隐含定义的概念的外延——或者说，值域——已经处在对象域之中，在（Ca）和（Cb）中所陈述的等价关系被认为是在该对象域上成立的。
关于“抽象原则”的谈论提示了一个明显的回答：概念的外延应该被视为是从相应的等价关系中抽象出来的：无论人们是否把它们看作真正的对象，它们确实不是已经在原来的对象域中的对象。在发展他的类型论以作为对该悖论的回答时，罗素的反应本质上就是如此。有零层对象，概念的一层外延，概念的二层外延，诸如此类。承认对象的这样一种分层就能使人们避开悖论，尽管随之而来的困难问题变成了：如何发展一种类型论，使得逻辑主义仍然是一种可行的立场。罗素最后不得不引入其他一些公理，其逻辑性质是完全不清楚的。但是，这是逻辑史和分析哲学史上的另一个长故事。
至于弗雷格，他最初的反应是：简单地不允许把概念用于它自己的外延，并相应地限制公理V。当时，他的《算术基本规律》第二卷正在印刷中，他匆忙地写了一个附录，在其中给出了如此反应。但是他很快明白，这个反应是不适当的：除其他原因外，它看起来是特设性的，在哲学上没有合理的动因。他承认罗素的反应是可能的——即把概念的外延当作“不合适的对象”，如弗雷格所称呼的。但是，对于弗雷格来说，由此导致的理论的复杂性与他的“普遍主义”逻辑观相冲突，也就是说，与他的下述观点相冲突：逻辑原则应该毫无限制地应用于所有类型的对象；他最终逐渐抛弃了他的逻辑主义。
_在概念的讨论里，是否关乎概念和对象之间的一个根本的区分：
有的符号的意谓，根本上是对象，有的根本上是概念。它们之间是区分的。
比如，这个苹果是红的。红的，本质上就是概念，它不可以为对象所谓述：无法为了谓述红这个概念穷尽红的对象。
比如，弗雷格的儿子，这个摹状词。它形式上是一个概念，本质上却是对象：它可以为对象所谓述。弗雷格有且仅有一个儿子（养子）。
比如,属于‘与自身不相等’这个概念的数，0。这里不是概念和对象之间的谓述的关系，而是算术等式中那种意谓相等的关系。
概念的外延，和处于概念之下的对象，值域，之间，也要区分。
公理5之中，a命题是从给出对象去描述函数的值。这里对象谓述概念，语境落在对象里。
b命题，函数的值域的相等，以函数为直接给出的东西，是语境。函数的值域是一个概念，通过概念受到补充的情况来讨论或谓述关于补充它的对象的情况。
（Ca）概念F像概念G一样，适用于同样的对象（也就是说，无论什么东西，只要处于概念F之下，就处于概念G之下，反之亦然）。
（Cb）概念F的外延等于概念G的外延。
这里，概念需要区分可以为对象谓述的情况，和不能为对象谓述的情况。后者反过来由概念谓述对象。这种谁谓述谁的关系的区分和指出是首要的。
就其出现在弗雷格系统的情形而言，罗素悖论现在可陈述如下。如果每一个概念都相对于所有对象来定义（如我们已经看到的，这就是弗雷格的主张），那么，每一个概念都可以看作是把所有对象划分成两类：那些处于它之下的对象，和那些不处于它之下的对象。如果概念的外延是对象（弗雷格假定它们是如此，就像数一样），那么，外延本身也可以划分成两类：那些处于该概念之下并且它们是其外延的外延（例如概念是一个外延的外延），和那些不处于该概念之下并且它们本身不是其外延的外延（例如，概念是一匹马的外延）。但是，现在考虑概念是一个并不处于它自身之下的概念的外延。这个概念的外延是否处于该概念之下？如果它处于该概念之下，则它不处于该概念之下；如果它不处于该概念之下，则它处于该概念之下。我们已经得出了一个矛盾：这就是罗素悖论。
带着这种区分来考虑概念对于对象的划分，以及外延的划分。
关于概念。
弗雷格在其句子的划分中，作为不满足的，对象处于其下的东西，大体可以看作第一实体之外的所有概念：第二实体，范畴和性质。
但是在涉及对象的情况时，譬如概念的外延，情况就需要谨慎。概念的外延是一个对象的类。这个概念类算对象还是概念？
指称词组在形式上是概念，但是它意谓对象。
如果一个词组并不指称某个对象，而是其意谓可以由给出的有数的对象构成的一个集合或类所谓述，这里还是需要看作对象。比如我的家人。它有若干个确定的成员。
概念如果是红的这样的情况，那么其外延还是没法用对象给出来，或者说不能用对象来谓述这样的概念。反过来，是概念在谓述其外延的东西，决定其外延的东西。这里，概念的外延根本上就是概念的。
还有一种情况，是弗雷格在算术基础里谈到数所属于的概念。可以把其概念看作第二实体，而非性质。这5苹果，它们是红的。红是性质，苹果是第二实体。
概念的外延，和处于概念之下的对象的区别。
按公理5的理解，就是所有在其补充之下使得概念为真的对象，构成概念的外延。
这里是属于一个集合的项（对象）的逐个指出，和这个集合之间的关系。
概念的外延在这句话里，还并没有确定是概念还是对象。
在这里需要区分这个集合是不可穷尽的，和可以穷尽的情况么？
项和集合/类之间的关系的成立，确实需要区分项的可以穷尽或不可以的情况。因为在不可穷尽的情况下，这里的集合/类在根本上是概念而非对象，因此就不可以谈论一种集合：集合在于用对象谓述概念。在不可穷尽的情况下却是概念谓述或规定对象的情况。
退一步，弗雷格的逻辑在逻辑对象那里成功了。关于逻辑对象，真，和数。在基于真而真的概念文字里，句子意谓真。在其推理句子里，和算术式一样，是意谓相等的一个等式。在这里，逻辑对象可以通过一个算式指出，它们之间是意谓的相等，而非一个谓述另一个的关系。
而一般语言的句子里，对象为概念所谓述，而非为概念所指出。概念的外延，和处于概念之下的对象之间，总是或者对象谓述一个概念，或者一个概念谓述一个对象。并且两者之间是根本不同的。就像概念和对象之间，不满足性和满足性之间根本的不同。
弗雷格在公理5中试图弥合概念的外延和处于概念之下的对象。这事实上就是在试图弥合对象和概念之间根本的不同。它们之间基于在先的东西的不同，是不同的语境。
从主目（对象）的给出，它们对两个函数的补充产生相同的值，是基于对象在先给出来，去确定或指出概念的情况。
而两个函数的值域相等，是从函数出发，来谈论处于其下的对象。但是，值域和对象的集合是一回事么，或对象的集合是对象么？
指出它们之间的等价，就是试图分别从对象出发到达概念的外延，以及从概念出发到达对象，它们之间是等同的。
如果前者有限的对象，可以穷尽的对象，能谓述一个概念，并且后者的概念（外延）可以为可以穷尽的对象所构成，那么它们之间基于对象和概念之间处于弥合的情况而可以等价。
但是，如果前者有限的对象不能谓述函数，它就不能看作对象。此时后者的概念（值域）也不能由有限的对象所穷尽。那么，前者谓述概念的对象是不能作为给出来的东西，后者的概念的外延也是不能作为已经给出来的东西，它们都不能作为别的东西的谈论的基础。就像我们不能使用两个级数之间仅仅由于同样无限趋于0或趋于无穷大，而说任何一个自变项补充它们，它们的值总是相同。这里是一种不具有进一步谈论的充分条件的情况。比如：我们不能说当a趋于无穷大时，1/a和1/2a相等，仅仅由于它们同样无限趋近于0。
前面关于概念的外延 概念的值域的理解错误。
概念的值域 外延，就是概念为对象所补充满足之后的意谓。
从这里可以看见处于概念之下的对象，和对象补充概念的满足性之后，对象处于概念之下，所带来的东西，一个新的对象，之间的关系。
就命题作为真值函项而言，后者就是真或假。是逻辑对象。而前者是一般语言的对象。
再看算术基础中，弗雷格用概念的外延来定义数的情况。
1 定义：
‘F这个概念与G这个概念是等数的’
这个表达与
‘存在一种关系，它使处于F这个概念之下的对象与处于G这个概念之下的对象相互一一相应’
这个表达具有相同的意谓。
2 属于F这个概念的数是‘与F这个概念等数的’这个概念的外延。
3 ‘n是一个数’
这个表达与
‘存在一个这样的概念，n是属于它的这个数’
这个表达具有相同的意谓。
1 等数，并不需要给出某个数。而是基于一一相应的关系就可以说两个概念等数。从而，指出等数可以看作指出一个数的预备工作。等数的概念在于使得能够确定地谈论某个数，在这个数被给出来之先。
2 指出这个数
‘与F这个概念等数的’这个概念的外延，怎么理解？
这个概念的外延，就是它受到一个对象的补充之后的东西。补充等数的这个概念的东西，是某个数。这个概念在于指出一个数，但是是哪个数，则还是空缺的。对于这个概念的补充满足，就是指出这个数。
这里，处于这个概念之下的对象是什么？
这里有对于指称的涵义的谈论相类似的情况。罗素说难以谈论：作出的谈论就是自身。
或者：处于这个概念之下的，是G这个概念？
如果这样，就是前面第一个句子。只是产生一个真值函项。
概念的外延是什么？
针对不同的概念，它们有不同的外延。
概念的外延是对象。但是忙着个对象是概念的值域，而非处于概念之下的对象。
因此，针对对象对于概念的补充所产生的东西，不是一个真值函项。而是一个摹状词。把一个对象处于概念之下的句子，对象补充概念的不满足性，得到的，是如此这般某物。它是对象，而非真值。但是这里的特殊在于，这里的对象不是自身给出来的东西，而是由一个语词表达式中从句中为概念所确定下来的东西。就是说，对象可以为概念所确定给出。进而，由于对象可以穷尽地给出，这个概念反过来可以为此对象所谓述。
在经验地情况中，一般语言的摹状词中，就是罗素所作出的讨论 。
但是，弗雷格在此关注的是撇除经验的亲知的情况作为语言的理解中的语境。由此，弗雷格只能在概念本身中考虑可以指出何种对象。可以为概念自身所指出的或所确定的对象，就是逻辑对象。真是逻辑。弗雷格的概念文字对于基于真而真的阐述是富于成果的。并且，弗雷格试图证明数也是逻辑对象。数可以基于概念给出。这样的概念是逻辑概念。
我们先退一步看弗雷格的真。
真是一个概念的外延。和等数，数的概念，和某个数的情况类似。我们说一个概念的外延是一个真值。真值是概念，就如同数的概念。
然后，可以指出两个概念受到对象的补充之后，其意谓的相等。它和不同对象对于概念的补充
弗雷格在其概念的外延意谓一个数里，是对于概念的一种分析。概念和数之间，首先基于处于概念之下的对象的指出，然后对于集合中的这些对象作一个数数。进而用概念和数共同来描述事物。这里的特点在于对象和概念之间处于一种关联之中。对象和概念之间处于一种第一实体和第二实体之间的从属，项对于类的从属。而它们所描述的事物，就是那个集合，作为对象的集合。而概念和集合之间，就是概念和概念类。但是这里的概念类，集合，并非概念的外延。
集合作为概念的外延，是在命题中，概念谓述对象的情况。对象和概念是分别给出来的。对象为概念所谓述。那样的一个概念的外延，由于不可穷尽，不能作为对象给出来。它本质上还是概念的。
但是这里始终有两种概念的外延。概念是不满足的，补充其满足的方式，有两种：
一种是对象处于其下，产生一个命题。其意谓一个真值。真是逻辑。指出的就是概念的外延在普遍性而言的东西。
另一种，就是当概念作为对象的谓述，并进一步能根据自身确定指出对象的情况。这时，概念的不满足性的进一步补充就是从如此这般到如此这般某物。这就是摹状词的情况了。
这里的如此这般某物可以是种种东西，具有经验性。真作为逻辑，就在一种普遍性中被挑出来了。
而数这概念和数的对象（某个数），是在经验性中进一步普遍的分析出来的东西。
这里就是代数式（等式）和算术式（并不包含等式，或者对象x置于等式的一边，和另一边的表达式意谓相等）的区别。
一个等式意谓真。
一个算数式意谓一个数。
我们在对象只能为概念所谓述而不能给出的情况下，把概念看作语境。一个对象对于概念的补充，得到一个真值。这也是基于语境可以得到的。或者说命题的真可以通过经验或先天的分析给出。
我们在对象可以基于概念确定的情况下，反过来说对象可以谓述这个概念。在可观察或现象，而非概念/含义而言，对象作为语境的东西给出来。就此，把对象看作概念的外延。
谈论概念的外延，可以通往两个方向：
在真作为语境而言，其外延就是真。真是逻辑。
另一方面，在从概念进到对象而言，其外延就是各种对象。
弗雷格说一个概念，是对象。这里是就考虑的东西的对象性而言，我们考虑什么，什么就作为相应思想中的对象。对象不是一个绝对的定义，而只是思想中的一个空位，作为目的或对象被思考的东西。我们通过思想揭示出它的种种性质。
弗雷格指出‘与直线a平行的’这个概念的外延是方向。还可以说‘和清晨的太阳等色的’这个概念的外延是红。这里，这两个概念所思考的是方向，红这种颜色。就这种思考而言它们就是对象。清晨太阳的颜色是红。这个句子表示的不是对象‘清晨太阳的颜色’处于概念‘红’之下，而是表示两者之间意谓的相等。因此，清晨太阳的颜色 就是 ‘和清晨的太阳等色的’这个概念的外延，就是通过这个概念所要思考的东西。在这里，是这么一种情况，这个概念指出了基于颜色这个概念，其下的某种颜色——‘和清晨的太阳等色的’这个概念的性质的颜色。这个颜色就是 清晨太阳的颜色——红 。
概念的外延在这种用法里，指出的不是补充一个对象产生一个句子的情况。而是就一个概念作为另一个概念的指示，前者和后者之间是类和项之间的关系。颜色之于红，数的概念值域某个数比如0，方向的概念之于某个方向比如东边。
在弗雷格，只是指出等数的概念，并没有单独谈论数这个概念。但是等数这个概念就是数的概念。方向的相等这个概念之内就含有方向的概念。虽然，其中某个数，某个方向还没有指出来。
等数的概念，方向的相等的概念，相当于在事物种指出某种概念，并以这种概念来考察事物，或事物在此就是以此概念的意义上受到考察。
科学的概念思维中，概念思维就是事物以此概念种的表现受到考察的结果的东西。
在一个句子中指出在数上相等，或在某个概念上相等，并且这个句子基于语境是真的。这里，就是对于数这个概念的一种在语境中的使用的情况的指出：基于一一相应为语境指出数的概念。或某个数的重认。
比如，红的这个概念的外延，是红的这个，红的那个，任何红的东西。
和（）等色 这个概念，其外延是颜色这个概念。和某物等色的 这个概念，其外延是某物的颜色。这是从颜色的概念进到指出某个颜色，从数的概念进到指出某个数。
概念的外延，在此谓述某种抽象对象。指出数的概念，方向，颜色的概念。
经验概念：这桌子上的苹果，
概念的外延
概念本身要做一种区分。
一种概念，它谓述对象。其外延不可穷尽，不是对象。
比如红的外延。没有可以穷尽地给出的对象作为其外延。
另一种概念可以为对象所谓述。摹状词，指称词组，它们由概念构成，并且其意谓的是一个概念类，一些可以穷尽对象的集合。对于这样的概念可以谈论一个数属于它。
而在红，可以把它看做和方向，数的情况中的某个方向某个数的情况。红这时不是自身作为概念去谓述别的东西，而是自身作为对象，它作为一个概念的外延。这个概念就是当我们想谈论某物的颜色（红）时所谈论的。与某物等色的 这个概念。这就是在指示我们去考虑某物的颜色——红。
这里，某物要先指出来。一个苹果，一条线，前者基于和它等色指出其颜色（红）。后者基于和它平行指出其方向。
概念的外延由此指向现象中的对象，而是指向作为意识的一部分的抽象对象。
这桌上的苹果的数。这里，概念‘这桌上的苹果’是摹状词，意谓对象。和它等数 这个概念的外延就是它的数。而和它等数就是指出它的数这个对象。类似于‘和清晨的太阳等色的’这个概念的外延就是指出清晨太阳的颜色。
这桌子上的苹果的数，这里的‘数’意谓数概念。数这个概念可以和质量或颜色这个概念之于这桌子上的苹果 一样看做其性质。但是，这桌子上的苹果的数，或颜色或质量，就其自身而言指出来受到考虑时，它是对象。
我们说红是这个苹果的性质，但是在考虑这个苹果的颜色时，它不是作为性质的东西。它是对象。
基于它作为给出来的对象，作为谓述这个苹果的颜色的这个红，可以进一步指出它是几分红。
在使用概念的外延来产生方向，数这样的概念时，用到 等数 这个概念或关系。并且这个概念是这个关系和一个摹状词，一个可以用对象所谓述的概念，或一个意谓对象的名称的补充所构成。着使得这个概念的外延就是一个摹状词:这桌子上的苹果 的数，这条线的方向。而这个概念就是:和这桌子上的苹果等数的，和这条线方向相等的。
回到弗雷格的公理5
在命题组V和命题组C里：
基于相同主目/对象对于函数/概念的补充，得到函数的值的相同，等价于函数/概念的值域/外延相等。
前者是对象补充概念，得到的是对象的东西。
后者是从概念出发谈论其值域。比较起来，前者是从对象出发谈论补充概念得到的东西。
这里可以把值域和对象补充概念得到的东西等同起来么？
在什么条件下可以，什么条件下不可以？
当概念可以为对象所谓述的时候，根本上它是一个对象的东西，这时候，概念的值域就是这个对象的东西，它是处于其下的可以穷尽的对象的集合。
比如a有且仅有2个孩子b和c。a的孩子 这个概念的外延，是a和b的集合。而a的孩子的数 这个概念的外延，是2。或‘和a的孩子等数的’ 这个概念的外延是2这个数。
‘红的’这个概念的外延，是所有红的东西的集合。红的东西不可穷尽。‘和红的东西等数’这个概念的外延，没法谈论。因为红的东西不可穷尽，和它等数这个概念就不能在先在语境中被给出来。我们对于一个不可知的东西，没法谈论‘和它等数’这个概念。那要建立在一种一一相应的关系的确定给出的前提之下。但是这里没法给出这种一一相应。因此，红的东西的数 这个概念就是不能给出来的。
这样，如果设定这里的概念为可以由对象所谓述的，公理5就可以。
回到这篇文章的文本：
就其出现在弗雷格系统的情形而言，罗素悖论现在可陈述如下。
如果每一个概念都相对于所有对象来定义（如我们已经看到的，这就是弗雷格的主张），那么，每一个概念都可以看作是把所有对象划分成两类：
那些处于它之下的对象，和那些不处于它之下的对象。
如果概念的外延是对象（弗雷格假定它们是如此，就像数一样），那么，外延本身也可以划分成两类：
——举例‘和与自身不相等
那些处于该概念之下并且它们是其外延的外延（例如概念是一个外延的外延）；
——
和那些不处于该概念之下并且它们本身不是其外延的外延（例如，概念是一匹马的外延）。
但是，现在考虑概念是一个并不处于它自身之下的概念的外延。这个概念的外延是否处于该概念之下？如果它处于该概念之下，则它不处于该概念之下；如果它不处于该概念之下，则它处于该概念之下。我们已经得出了一个矛盾：这就是罗素悖论。
算术基础67节
关于概念的外延：
a这条线的方向是’与a这条线平行‘这个概念的外延
d这个三角形的这种形状是’与d这个三角形相似‘这个概念的外延
’与a这条线平行‘这个概念，平行在这里就是方向的相等。
’与d这个三角形相似‘这个概念，相似在这里就是形状的相等。
弗雷格在这里看重的是从可说的东西中引出有待被说出的东西。’与a这条线平行‘这个概念是可说的。其外延是什么？如何理解外延？就是：
实体x，它与a这条线平行。由这个概念所谓述的诸对象之间，或处于这个概念之下的诸对象之间的共性的东西，它们被看作相等的东西所在，就是这个概念的外延。在这里，指出和a平行的线之间相等的东西，就是’与a这条线平行‘这个概念的外延。这个东西就是方向。
以概念替代线，并且以处于一个概念之下的对象和处于另一个概念之下的对象之间的一一相应的可能性替代平行。如果存在这种可能性，称F这个概念和G这个概念是等数的。
——指出在数上相等，可以并不需要指出这两个数来。
但是’等数的‘这个词要看作一个任意选择的标记方式，不应该从语言构成，而应该从这种规定中得出它的意谓。
——这里强调一种语义的给出方式上的语境原则。
因此我定义如下：
适合F这个概念的数是’与F这个概念等数的‘这个概念的外延。
——等数的，由处于不同概念之下的对象之间的一一相应所解释或定义，而不是从其中具有的’数‘这个字之中取得数上的相等的语义。如果后者这种情况，等数就是从数的概念取得自身的语义的定义。而这里正是要引出数这个概念的定义本身。语义的规定是从一一相应到等数，从等数到数。
但是在一一相应里，指出等数。这里，也同时指出了数的概念。虽然还没有指出属于这个概念的这个数。因此，这里并没有对于数这个概念作出更多的交代。一切都 限于一一相应中给出。
另：适合F这个概念的数，也写作 属于F这个概念的数。
适合F这个概念的数是’与F这个概念等数的‘这个概念的外延。
处于F这个概念之下的对象构成的集合，就是F这个概念的外延。而适合F这个概念的数是F这个概念的外延等数的。
弗雷格专门在下面标注了，“我相信，可以简单地用‘概念’来表示‘概念的外延’···”
用简单地用‘概念’表示‘概念的外延’会引起很多误导。在我不熟悉这种表示之前，还是老老实实地不作这种简写。
弗雷格这里为什么要模糊“概念的外延”和“概念”呢？
是因为数所属于的概念，都可以为对象所谓述，它们根本上是对象么？在此意义上，混用概念和概念的外延。
回到公理5：
（Ca）概念F像概念G一样，适用于同样的对象。
（也就是说，无论什么东西，只要处于概念F之下，就处于概念G之下，反之亦然）
（Cb）概念F的外延等于概念G的外延。
第一句话，同一个对象处于不同概念之下，两者之间真值相同。
第二句话。首先概念的外延并非真值。概念的外延是满足的东西。但是它并不限定于现象中的对象，也可以是抽象对象，或逻辑对象。
譬如，a有且仅有孩子c和d。那么a的孩子这个概念的外延就是c和d的集合。这个概念可以为其外延所谓述。这里它是一个摹状词。
譬如，和F等数的 这个概念的外延就是属于F 的数。和F等数的 这个概念，等数这个词，可以把其中的数的概念指出来，而非弗雷格强调的这里不能望文生义，要从规定性中得出它的意谓。在等数中指出数的概念作为理解等数这个概念的前提，并不和弗雷格的要从规定性中得出它的意谓 相冲突。
适合F这个概念的数，要看作一个指称词组。类似于 罗素的父亲。这里，数只是一个概念，前面的定语‘适合F这个概念的’，与‘与F这个概念等数的’有相同的意谓。其外延，与F这个概念等数的东西，就是一个数：适合F这个概念的数。
这就是说，一个对象，比如一个数，属于一个概念F，
0是属于‘与自身不相等’这个概念的数。
或者说，“与‘与自身不相等’这个概念等数”这个概念的外延是0这个数。
那么，红的 这个概念的外延是
外延的另一种理解，函数的值域，
（Va）对于每一个主目，函数F与函数G有同样的值。
（Vb）函数F的值域（value-range）等于函数G的值域。
等数，就是在数上相等。
属于一个概念的数，这个概念需要可以为其作为对象的外延所谓述，而非概念谓述对象。作出谓述的是在先给出来的东西，看做语境。被谓述的东西是在后被指出来的东西，它奠基于谓述它的东西之上。
在弗雷格的句子里，对象不是基于名称自身给出的，而是为概念所谓述的东西。是通过概念被指出来的东西。虽然在一般语言的句子里，给出来的只是一种谓述，而非意谓的相等。只有在逻辑对象那里，推理中整体命题的真，可以基于谓述被给出来。也有说推理里不是谓述而是运算。以及，在数的对象里，代数可以基于代数式的真而被给出其意谓，通过给出一个意谓相等的等式。算术也一样被看做运算而非谓述。
这样看，谓述和运算中指出的意谓的相等需要区分
对于弗雷格对于数的概念的引出，依照的是一一相应。把处于两个概念之下的对象之间具有一一相应的关系，看作属于这两个概念的数的相等。数的相等已经含有数的概念了。就是说，弗雷格通过一一相应并不定义数的概念本身，而是由此引出等数的概念或数的相等的概念。这就是把等数或数的相等置于一一相应的语境中使用了，给出了等数或数的相等这个概念的一个用法。
而数的相等/等数这个概念，为这个数所属于的一个概念所补充，这里这个概念作为对象的东西——它可以为对象所谓述，根本上，是对象——补充等数这个概念，指出的是某个数。等数或和（）等数这个概念指出的是某个还没有确定的数。
和F这个概念的外延等数的，这个概念的外延，就是属于F这个概念的那个数。
和（F这个概念的外延）等数的，就在于指示对于F这个概念的外延——它根本上是一个对象，可以为其作为对象的外延所谓述——对象的东西，一个类，一个集合，对它作数的方面的考察或关注。等数的这个概念的功能就是指出对于对象的东西作出数方面的考虑。
这桌子上的苹果，我怎么谈论这桌子上有几个苹果，比如5苹果这件事情呢？我可以直接指出这桌子上有5苹果。但是5这个数怎么从经验中冒出来的，它和这句话中别的概念是怎么发生关系的，或者说5这个数在这个句子里是如何被使用的。
我可以说，一眼看过去，这桌子上有苹果这种东西。但是我怎么想到5苹果这件事的？这就需要有数的概念。需要具有同样的东西的概念，比如苹果。把这个那个都看作苹果，然后我们才能在苹果这个概念而言谈论数的概念。但是数是基于一种用法里出来的东西，而非脱离语境凭空冒出来的。至少在反思的时候，考虑数的概念的来源时，这么考虑会提供出一条合法的线索。因为先有了苹果的概念，我就可以对于桌子上的这苹果那苹果统称为这些苹果。这一步跨越是根本的，它基于概念思维。只有在人基于把这个那个都仅仅是看作苹果的东西而言，才能把它们统称为这些苹果。我们在谈论不同的东西时说，这些东西，也是在更宽泛的实体的概念而言，使用了这样的概念思维。没有东西这个概念，我们就难以谈论这些东西这个概念。
这个东西，指称对象。这些东西，这桌子上的苹果，它是一个概念，但是它可以为对象所谓述。它根本上是对象。而东西这个概念却是通名，它谓述对象，自身却不为对象为谓述。相对而言，前者是专名。
弗雷格在算术基础中谈到数所属于的概念，就是专名的东西。但是也有通名的情况，比如自然科学中的概念，比如氢原子的电子。这个概念和苹果这个概念的区别在于，所有氢原子的电子的数都是2。而苹果不为对象所谓述，如果我们通过苹果这个概念意谓所有的苹果，那么属于它的数就是不可穷尽的，或处于变动之中的：正在开花结果的，在被吃掉的，自然败坏着的。或者说属于它的数是不可数的。我们在经验生活中并不会去谈论这种概念，或者说使用概念的这种用法。假设这世上最后只剩下100只大熊猫，那么我们可以在这种意义上去使用大熊猫这个概念。我们可以不说这个动物园这个保护区有几只大熊猫，而直接说属于大熊猫这个概念的数是100。但是毕竟这里始终还是要基于语境为根据来说大熊猫这个概念的这种用法的合法性，所以，这种用法还不是无条件的或能够脱离语境的。语境才是用法的第一来源。这就和说属于‘这个动物园里的大熊猫’这个概念的数的情况没有区别了。它们都首先要确定一点，一个概念可以为对象所谓述，才能有意义地谈论属于这个概念地一个数。
氢原子的电子这个概念，一个原子，只要它是氢原子，那么它的电子数就总是2，这总是真的。这使得这个通名/概念可以和这桌子上的苹果这个可以为对象所谓述的概念一样的用法。
语言——意义的理论，分析哲学的要害就是这个语境原则。通过看见的东西——现象，命题，语言游戏，以及同样作为语境在w的语言游戏里就是共同的人类行为方式，来谈论语言的用法。在弗雷格，则是基于句子意谓真的可以直接给出来，可以基于亲知，可以基于推理，来谈论语词的意义。并且其中概念词意谓一个概念也看作语境中东西给出来。由此可以看出弗雷格的理论的着眼在于通过语言分析对于对象的给出。句子的真，概念词意谓概念，只是语境的东西，为了达成这个轴心的条件的东西。
弗雷格的理论所富于成效的部分，都是对于基于概念的谓述意谓一个对象的情况。真作为对象，是逻辑。概念文字中对于推理，就是基于真这个对象的使用。数可以为概念所给出，作为逻辑对象，这也是弗雷格的一大工作。
而一般语言的句子中，概念谓述一个对象，但是并不意谓一个对象。这是命题区别于等式的地方。在逻辑对象之外的情况，概念对于对象的谓述，达成的是基于其外延对于对象的含义的设定。所谓含义，就是当一个名词凭空给出来时，我们只能说它意谓一个对象，却还并不意谓任何确定的对象。一个对象，就是说这个名称还仅仅具有作为亚里士多德的是论中的实体这个范畴作为含义的成分。而一个句子，概念谓述这个对象，就是在含义上赋加定义，把概念的涵义赋予给这个名称的含义。由此，这个名称的含义就从实体范畴进到这个概念的含义。这就类似于从实体到种种性质/概念的指出达成属种差的序列中的进一步。无毛两腿动物：动物——无毛——两腿。
因此，命题可以看作对于名称在内涵上的赋予。基于一种内涵原则来看句子。而名称意谓的对象，如果仅仅从属种差的逼近而言，产生的始终还是一个概念。而概念和对象之间的区分是根本的。这种方式里，概念对于对象的谓述，始终不能意谓一个对象，或者说给出一个对象。这也可以看作共相和殊相之间的区别的根本性，不可跨越。
这里触及一点。概念和不满足性的联系。弗雷格指出概念是不满足的。但是，一个数所属于的一个概念，可以为对象所谓述，它根本上是对象，是满足的。这就对于‘概念’这个概念的使用产生了根本的挑战。
对象处于概念之下，但是处于概念之下的所有可能的对象，基于句子意味真为条件，构成的一个集合，作为概念的外延。
但是概念的外延，这个概念类，集合，它是对象还是概念，或者说事物上给出来的，满足的，还是还没有给出来的，不满足的，则还是没有确定下来的。罗素的父亲，意味一个对象。或者说它可以为对象所谓述。但是譬如世界，实体，这样的概念，世界上的所有东西
回到数的对象的讨论，公理5的情况。哪里卡住了，出问题了。
先看罗素悖论
先指出两个概念：处于概念之下的对象，和概念的外延。
按集合来看，概念的外延就是处于其下的对象的全集。对象则是集合中的项。但是属于这个集合的项和子集都可以作为处于概念之下的对象。那么，全集本身可以看作处于自身之下么？
这个问题有意义么？是不是只是一个语言游戏。
意味这里有一对区分：
全集是不是可以看作处于自身之下，并没有什么实质的意义。这个问题就相当于意谓相等是否可以看作谓述。并不能基于算术句子中，概念和意谓相等之间的重合，就把这种情况普遍化，把这种重合挪用到一般语言的句子中去。我们始终要基于考虑的东西来考虑语言的用法。w后期的这个观点，用在谓述和意谓相等的关系里，也有效。这个关系是视情况或语境而有所不同的。
处于概念之下的对象和概念的外延，在概念可以为对象所谓述的情况中，根本上是相同的。一种情况就是罗素的指称词组的情况：概念（摹状词）指称对象。
处于概念之下的对象和概念的外延，在逻辑对象那里，可以不成问题。它们之间是意谓的相等。但是在一般语言中的对象的情况，就有问题。因为，概念的外延看作处于概念之下的对象的全集。而处于概念之下的对象可以是这个全集的东西，也可以只是其下的项。粗除了对象作为全集，别的情况中，它和概念的外延都不同。
这篇东西指出公理5是一个抽象原则。抽象原则这个概念重要。就像形式和质料只是一种形式概念，逻辑概念，或者说相对概念，它们并不实指某物。抽象概念也不能直接作实质应用。就像康德的先验概念只能经验应用而非先验应用。
关于“抽象原则”的谈论提示了一个明显的回答：概念的外延应该被视为是从相应的等价关系中抽象出来的：无论人们是否把它们看作真正的对象，它们确实不是已经在原来的对象域中的对象。
在公理V中特别成问题的，至少按弗雷格的理解，是下述假定：已被隐含定义的概念的外延——或者说，值域——已经处在对象域之中，在（Ca）和（Cb）中所陈述的等价关系被认为是在该对象域上成立的。
再来看公理5，它断定了如下两个命题之间的等价：
（Va）对于每一个主目，函数F与函数G有同样的值。
（Vb）函数F的值域（value-range）等于函数G的值域。
这是试图指出两个函数的对象域上的相等和值域上的相等之间的等价关系。
可是考虑这里的概念，前面抽象原则里说：
概念的外延应该被视为是从相应的等价关系中抽象出来的：无论人们是否把它们看作真正的对象，它们确实不是已经在原来的对象域中的对象。
这样，谈论概念的外延作为对象处于概念自身之下，就没有意义。
为什么要谈论概念的外延处于概念之下？
并且，前面弗雷格在算术基础的注解中提到过，用概念来指示概念的外延。那么，这里处于概念之下，指的是处于概念的外延之下么？
应该不是。处于概念之下，这里的概念，指的是不满足的概念。
其实，在指出‘与F这个概念等数的’这个概念时，它就可以看作一个摹状词了，意谓一个数。概念的外延被视为是从相应的等价关系中抽象出来的，应该说时抽象出来的东西。可是看这个概念本身而非看其外延，‘与F这个概念等数的’这个概念，它已经包含了这个数的指出了。作为概念，它是不满足的么？需要把摹状词看作概念么？‘罗素的父亲’ 要看作概念么？‘与F这个概念等数的’这个概念，它作为概念，与处于其下的对象是意谓相等的关系。
而意谓相等和一般语言的句子中对象处于概念之下，概念谓述对象的情况，是需要区分开来的。意谓相等不可以看作谓述。也就是说，‘与F这个概念等数的’不应该看作一般语言的句子中的概念。对象处于概念之下的情况，是普遍意义上的概念，它是不满足的，并且它谓述对象，而不能为对象所谓述。但是在意谓相等的情况中，概念反过来可以谓述对象。
这意味着，在算术基础数所属于的概念，和概念和对象的划分中的概念，是有区别的。它们不是同一个概念。
概念的不满足性，在数所属于的概念那里，是不存在的。概念可以和对象意谓相等：补充 ‘与F这个概念等数的’这个概念的是一个数，一个对象。 与F这个概念等数的（）。
与直线a方向相等的 这个概念如果是不满足的，那么可不补充它的不满足性的对象是什么？
关键在于，这个对于这个概念的补充，产生这样的句子：我们通过‘与直线a方向相等的 ’要表达和谈论的，是从直线a中抽象出其方向。从可观察的平行，抽象出相平行这种关系的（）的相等，或者说抽象出其中相等的东西。这个相等的东西就是方向这个概念之下的某个方向。方向的相等，是直接作为概念，它作为直接给出来的，语境的东西指出来了。这里要指出的，是相平行的线的这个方向。‘与直线a方向相等的 ’，这个概念里，直线a，方向相等（包括方向这个概念），都是直接给出来作为语境中的东西。通过它要指出的，是直线a的这个方向。
这就好比摹状词里，罗素的父亲，父亲这个关系概念和罗素都是直接给出来作为语境中的东西，它意谓的是一个人。这里，就不是弗雷格在对象处于概念之下的句子中，对象不是直接给出来的，作为语境中的东西的情况。这就是语境给出的区别和考察的东西的区别之间的相应。
‘与直线a方向相等的’这个概念，我们使用它谈论的是一个方向。但是这个概念如何能满足这个目的？可以把它的不满足性这么表示：（）是与直线a方向相等的。补充这个空位的只能是一个方向。基于相等的特殊性，这里空位中的东西，是一个方向。这个方向的值已经在意谓相等的句子中规定为直线a的方向。把外延看作处于概念之下的对象的集合。这里由于概念可以为对象所谓述，或者说它是一个指称词组，意谓一个对象。这就是说这个概念的外延是一个单项类的对象。它就是处于这个概念自身之下的对象。这个概念的特殊性在于不是对象处于概念之下的情况中，概念谓述对象的情况。而是概念本身之中含有与（）相等，它可以为对象所谓述。概念的外延就是处于其下的对象的集合。而这里，谓述这个概念的就是这个对象。由此，这个对象就是概念的外延。
一个句子里，概念总能谓述对象。这就是说，概念的外延是醋鱼其下的对象的全集。
在这里的概念的情况里，概念可以为对象所谓述。
“（）是与直线a方向相等的”，和“（）=直线a的方向”意谓相等。
‘与直线a方向相等的’，处于其下的对象在后一个句子中可以看出，就是由概念本身中含有的东西。并且这里是在意谓相等的关系里给出，就是说处于这个概念之下的对象有且仅有这一个。因此满足这个概念的对象即这个概念的外延。它就是从对这个概念的抽象得到的东西。
从概念的外延得到一个对象。这里就是对于概念的分析/抽象得到的东西。但是，要注意，这样得到的只能是抽象对象，或者说逻辑对象。真和数就是这样的例子。从这种概念的抽象中不能得到一般语言的对象，经验对象。
‘与F这个概念等数的’这个概念，
那么，公理5在数的指出中处于什么地位？为什么它具有不可或缺的奠基地位？
这里只是在普遍意义上反驳函数之间的对象域相等和值域相等之间的等价关系。但是考虑到这里使用的概念，是“和概念（）在数上相等”，这里并非一般句子中概念的情况。当公理5的函数局限在相应于这里的概念的情况：和概念（）在数上相等，那么就没有问题了。这里对象补充这个概念构成的是一个意谓相等的句子，而非普遍的对象处于概念之下的句子。对于公理5普遍性的攻击，并不构成对于这里特殊的概念的情况的攻击。
罗素悖论：
设W是不能谓述自身的谓词的谓词
（或：设w是这样一个谓词：它不能为自身所谓述）
（let w be the predicate of being of a predicate which can not be predicated to itself），W能够谓述自身吗？无论回答是还是否，都会导致悖论。因而，我们必须得出结论认为，一个W的谓述不是一个谓词。
be of sth· 具有···的
being of a predicate···，具有···的性质的谓述，如此这般的谓词
谓述自身，和数属于的概念F，联系。
和概念F在数上相等的，其外延是这个数：属于概念F的这个数。
补充它的对象，它谓述的对象，就是这个数。
在这里，‘和概念F在数上相等的’这个概念的外延，一个数（属于概念F的这个数），和处于其下的这个数或它谓述的这个数，是同一个数。
处于概念之下的对象和概念的外延意谓相等，这一点仅仅基于‘和概念F在数上相等的’这个概念中，含有相等这个关系。它就是意谓相等。
而一般的概念里并没有指出这一点。罗素悖论攻击的是一般的概念，可是支持数的概念的，是‘···的相等的’ 这样的概念。是概念中特殊的一种情况。区别在于，一般概念或不含有‘意谓相等’的概念，其谓述的对象和其外延之间，是一种项和集合之间的关系，而非意谓相等的关系。在外延的对象的东西而言，是前者从属于后者。在内涵，则是后者谓述前者的关系。
可是在一个意谓相等的句子里，谓词也可以为对象所谓述。‘a和b意谓相等’，和‘b和a意谓相等’，具有相同的意谓。
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徐老师 你好，这几天又看了下弗雷格那篇访谈，有一点理解，不知道对不对，跟您请教。
罗素悖论对于弗雷格的攻击，是处于概念之下的对象和概念的外延之间的不加区别出发。其修正也是人为作出另外的区别。（其实这里并不需要人工另外加以区别。在意谓相等的句子里，它们本来就是同一个对象。）
但是如果考虑到算数基础里，一个数所属于的概念，它总是可以为对象所谓述。它已经不是对象和概念的满足/不满足的绝对的划分了。
一个数处于一个概念之下，‘与概念f等数的’这个概念和一般意义上的概念的区别在于，它指出的是…和概念f在数上意谓相等。补充它的对象就是一个数，就是属于概念f的这个数。这个数同时是‘与概念f等数的’这个概念的外延。就是说，含有意谓相等这种关系的概念，和不含有相等关系的概念之间的区别，前者本身就分析地合法地指出了处于概念之下的对象和概念的外延之间的相等。它们是同一个对象。
用集合的观点看，一般句子中概念的外延和处于概念之下的所有对象之间，是项/子集和集合之间的从属关系。而含有意谓相等的概念里，是一种同一性，它们是同一个东西，意谓相等。从而，公理5是成立的。但是只是局限于‘与概念f等数的’，‘与直线在方向上相等的’，局限于‘与某概念在…上相等’这样的概念。
而不适用于不含有相等这样的关系的概念。
比如红的这个概念，就不适用。处于红的之下的对象，和红的外延，一个真值之间，就没有这种相等。
一般语言的句子中，概念谓述对象，但是并不能给出对象的意谓。达成的仅仅是对于对象的在这个句子里这个概念而言的含义上的指出。从外延来看的话，就是指出这个有待给出的对象的一个范围，它从属于概念的外延所构成的一个集合。(+++++++++错。概念的外延不是可能对象的集合，而是函数值的集合。）
而弗雷格富于成果的讨论，在真作为对象，数的对象里，它们都是作为一种抽象对象。而关于抽象对象的谈论，要从语言给出名称意谓的对象来，使用的就不是一般语言的句子中对象处于概念之下的情况。而是使用意谓相等的句子。而算术命题使用的就是等式的形式。这就使得等式这种形式对于抽象对象的给出而言，是满足其需要的。概念文字中的真，也是这种情况：句子意谓真，而非句子和真之间一种对象处于概念之下的关系。而是意谓相等的关系。
这也局限了弗雷格的成果。意谓相等的句子，只能刻画抽象对象，而不能刻画一般语言的句子中的对象。
不知道这么理解是不是恰当。
觉得罗素悖论只是攻击了一般语言的句子的情况中，对象处于概念之下，对象和概念之间是满足和不满足之间绝对的划分的情况。
可是在数所属于的概念的情况中，这个概念可以为对象所谓述，它已经是满足的了。并且语言上关键是，这里的概念相对于一般语言的句子的概念，它是一个含有意谓的相等的关系。这是一种特殊的或特定的概念。对于一般语言的句子中对象和概念的情况的攻击并不能对意谓相等的句子有效。
和句子意谓真，但是真并不是句子的性质一样，它作为一个抽象概念。在数的情况中也是这样，基于‘和某个概念比如F在数上相等（意谓相等）’这个概念的使用，这个概念就是意谓一个数。而意谓的一个数并非这个概念的性质。
弗雷格在概念文字和数上面的工作的基础，并非命题中对象和概念的划分，而是意谓相等这种关系的语言形式。
句子中的对象和概念的划分，只是构成一个真值函项。弗雷格并不关心同样意谓真的思想之间的区别。那样的话，就着眼于一般语言的句子中的对象。而不具有意谓相等的语境，这样的关注缺乏结论。
意谓是弗雷格关注的核心。
徐：
弗雷格的公理5主要是说函数值域相等的条件，也可以理解为概念外延相等的条件。其产生的困难主要是和他的逻辑普遍主义联系在一起的，即认为概念对于所有落在其下对象的普遍性。但是他对对象的理解也包括概念的外延，他将概念的外延或函数的值域都理解为一种抽象的对象。而这就会产生困难。因为概念（函数）相等的条件在于其外延相等或值域相等，而概念外延或值域本身又被理解为抽象的逻辑对象，对象又与概念截然不同，那么，这样就会产生悖论：概念就会分为两大类：所有属于这个概念的对象和不属于这个概念的对象，那么，考虑哪些由不属于自身的概念的类所组成的类，那么它们属于还是不属于这个概念类呢？这就是两难。
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函数的值域，和函数为对象所补充产生的东西，一个真值，之间，什么关系？
二级概念 抽象对象
这桌子上的苹果数是5。
这些苹果的颜色是红。
数作为概念 5作为一个数，是抽象对象。
颜色作为概念 红作为这个颜色，是抽象对象。
在这两个句子里，“是”意谓 意谓的相同。而不是一般语言的句子中用作的系词。在那里，系词指出的是对象处于概念之下的关系。
可以把
桌子上的苹果的数是5。
这个句子改写为
桌子上的苹果的数和5等数，或在数上相等。
或可以把“是”用算术中的“=”替代
这桌子上的苹果的数=5。
这样就显示出来5这个数在这个句子里作为对象而。左边的这个表达式，从语言的形式上看，它是一个概念，但是它可以为对象所谓述。对于它进一步分析，它是关于“这桌子上的苹果”这个概念在数这个概念上的指出，是概念的概念。
而相等指出了5用作二级概念。
说5是概念，基于作为“这桌子上的苹果”这个概念在数这个概念上的描述，是概念的概念。但是基于这个二级概念本身就指出其意谓一个数5。
5在此是满足的，用来补充二级概念的不满足的。但是它又是在二级概念本身之内分析而来的。不是一般句子中对象对于概念的补充中，对象是全然经验性的，可以是任何东西。这也符合意谓或相等的语法，弗雷格说算术是分析的。
关于概念思维
概念之于对象，在于对象落于概念之下，对象就概念的含义上被看和被使用。就这个概念而言的如此这般某物。
二级概念之于一级概念，也适用同样的情况。
概念在句子里，是不满足的。（）如此这般的。这里总是隐含一个系词。对象处于概念之下，（）处于（）之下，就是一个普遍的系词。这个关系不在符号里，或者说不在语音系列之内。补充空位的分别是对象和概念。就此而言，概念可以化归于关系。
用关系来分析，二级概念就是一个概念处于另一个二级概念之下。在这样一个句子里，一级概念就成为了对象。
木星的卫星数是4。
“是”作为系词，在这里指出的关系，是两个东西之间意谓的相等:
木星的卫星数 处于 和4 意谓相等的关系之下。
可见，在对象和概念的关系中，关系总是会部分地体现到语词中的系词上。这里的关系就是：（）=（），就是木星的卫星数=4。
“木星的卫星数 处于 和4 意谓相等的关系之下。”
和
“木星的卫星数=4”
有相等的意谓。
某物处于 和4 意谓相等的关系之下，就是某物置于（）=4 的空位之中。
要把弗雷格的概念看作含有关系的成分。概念就是一个句子除掉对象之外的东西。
按这种方式的进一步，就是关系就是一个概念除掉其中满足的成分的东西。包括抽象对象或二级概念的东西。
a在b的右边
（）在b的右边
（）在（）的右边
在含有抽象对象的例子里，或弗雷格的对象处于概念之下的情况，一元函数的情况：弗雷格的概念可以进一步提取出抽象对象来，余下来的就是一个关系。
但是，应该把（）处于（）之下，看作一个句子的语音系列之外的东西。它们本身不再作为表达式的东西具有意谓，它们自身就是意谓：就是句法本身。它们在理解中作为句法规则的东西，如此这般使用语言，理解语言。
弗雷格指出过，对象和概念的中间不能再有关系的东西来联系起它们了。但是这里是把关系看作概念内部的成分。
这苹果是红的。
这里是，这苹果从属于红的东西。
这苹果的颜色是红。
这里是意谓的相等。
“和这苹果等色的”这个概念的外延是红这种颜色。
这里的概念的外延如何解释的通顺？
基于处于“这苹果的颜色”之下的，是红，并且仅仅是红。“和这苹果等色的”这个概念，补充它的对象就只是红这颜色。或者说，只有一个对象处于这个概念之下，其外延就和处于这个概念之下的对象重合了 。这里，这个概念的外延就是处于这个概念下的对象。
数的情况中，也是如此。
这里的关键，在于这里的概念不是普遍概念，而是仅仅局限于“和概念F在a上相等的”这种概念。相等是意谓的相等。因此，补充这个概念的的空位的对象，产生的是一个等式：（）和概念F在a上相等。这里的a是比如数概念，颜色这个概念，方向这个概念。补充空位的则是一个数比如5，一个颜色比如红，一个方向比如东。并且，这个句子不但意谓真，而且，是对象基于句子被给出来了：它就是作为概念的外延的那个对象。或者说补充这概念的对象就是这概念的外延本身。它们是同一个东西。
XU:因为概念（函数）相等的条件在于其外延相等或值域相等，而概念外延或值域本身又被理解为抽象的逻辑对象，对象又与概念截然不同，那么，这样就会产生悖论：概念就会分为两大类：所有属于这个概念的对象和不属于这个概念的对象，那么，考虑哪些由不属于自身的概念的类所组成的类，那么它们属于还是不属于这个概念类呢？这就是两难。
——这段话里，一个对象属于一个概念什么意思？
弗雷格对于数的谈论：属于一个概念的数。完整的表达是：属于一个概念的外延的数。
概念的外延，是一个抽象对象：它是真，或一个数，或一个方向，可以从概念自身中指出来。可以么？how？
譬如，是红的，处于这个概念下的对象，就是红的东西。概念的外延，是一个真值。处于概念之下的对象和概念的外延的一个对象，是不同的。
但是，在“和概念F（的外延）等数的”这样的概念里，处于其下的对象，和其外延，都不是一个真值，而是一个数。
（）和概念F等数，
（）和概念G方向相等，
补充空位的东西已经为概念本身所规定下来了，基于概念之中自身含有的关系：（意谓）相等。
而这个概念的外延，怎么理解？
回到红的这个概念的情况，这苹果是红的，意谓真。概念的外延即句子的意谓。
和概念F的外延等数的，它的外延是什么？
和a意谓相等的东西，是什么？就是a。
这里的特殊情况在于，和a相等的（），补充它的空位的东西的，不是另外给出的一个对象，而就是对于这个概念的一个二级概念的描述。
这里应该把“和a意谓相等的”这概念的外延，看作关于a的一个表达式，它意谓a。这个概念要看作罗素的语词表达式的东西：实体x，它和a意谓相等。这样的情况。
因为在一般的句子中，实体x意谓的对象是在这个概念之外独立给出来的，对象补充概念之后产生的一个句子，是一个真值函项，它意谓一个真值。而这里的情况是，谈论这个概念的外延时，我们不是另外指出一个对象来，而是根据这个概念自身指出一个属于它的对象。而这就是语词表达式中的情况。实体x有且仅有一个。中国的首都，意谓北京。
这就相当于一个其对象还是x的句子，其意谓真作为条件给出来了，作为语境的东西。因为，实体x的意谓是根据概念产生出来的，而非另外随意给出来的，所以这个句子总是意谓真。因此，一个总是真的句子就可以化归为或看作一个语词表达式，它是一个指称词组的意谓：它不是一个真值，而是一个非真值的对象。
可以用一个代数式来类比：
x=5，它是真的。注意，这个等式意谓真是给出来了的，作为语境的东西，那么，这个等式就不再是一个真值函项，需要确定其真值，而是基于真作为给出来的东西，这个真命题看作对于其中的对象x的定义，赋值的活动。它不是指出x处于一个概念之下的句子的真值，而是指出x意谓的对象。
我们在代数里，都是这种情况：基于语境给出一个代数式，并且它是真的。这样作的目的在于确定自变元的值（意谓）。
我们总是基于给出的东西，去讨论可以讨论的还有待指出的或确定的东西。因此，基于给出的东西的不同，已经确定的东西的区别，也就是语境的区别，我们需要讨论的有待确定的东西也随之区别。
数的对象受到讨论的情况，和颜色的对象，方向的对象受到讨论的情况是一样的，就其作为某种含有相等的概念的外延而言。
数的对象和其它抽象对象的区别在于：
数的对象和真值对象可以相通约。它们是逻辑对象。但是其它抽象对象和它们不能通约，不是逻辑对象。
别的抽象对象，可以谈论一种谓词空间。比如方向上，东和西之间相反，往东就不可能往西。东和南可以同时在一个方向里存在。但是不能用东来谈论南。垂直方向之间不能相互规约。
如果使用含有数的角度来谈论方向，那么总还是具有数和度之间的不可通约。
这和颜色空间中的情况类似。T否定和D否定之间的区别。
概念的外延不是可能对象的集合，而是函数值的集合。在算术和推理中的特殊情况是：函数的对象域和值域都是数。推理的基于真而真，也是一样的情况。
但是在句子的普遍情况而言，对象域作为对象和值域作为对象，它们之间在种类上是不同的。
对象——真值，或对象——二级概念，它作为抽象对象。现象的东西可以是对象，但是不可以作为抽象对象。抽象对象作为对象是语言的谈论方式或用法而来的角色的东西：它可以作为思考的对象。就此而言，任何东西都可以作为思考的对象。这就是亚里士多德的being的东西了，任何意识都是一。
公理5讨论函数值域相等的条件，或概念外延的相等的条件。函数值域或概念外延的相等，就是弗雷格指出来的等数概念。如果我们能说两个概念的外延是等数的，那么我们就从中给出了一个数概念的使用的语境。基于关于它的谈论，引出一个数——作为其外延。
公理V，断定了如下两个命题之间的等价：
（Va）对于每一个主目，函数F与函数G有同样的值。
（Vb）函数F的值域（value-range）等于函数G的值域。
如我们已经看到的，弗雷格关于函数值域的观念是他关于概念外延的观念的推广。（Va）和（Vb）于是生成如下一个特例：
（Ca）概念F像概念G一样，适用于同样的对象（也就是说，无论什么东西，只要处于概念F之下，就处于概念G之下，反之亦然）。
（Cb）概念F的外延等于概念G的外延。
当概念的对象域和概念的外延等同时，公理5就直接成立了。
而我前面的设想就是指出在含有‘意谓相等’的概念里，处于概念之下的对象即概念的外延。
或者说，公理5是对于概念相等的定义，或者从对象处于其下的情况的相同，或者从外延的相等。
而别的概念，比如 一匹马，处于其下的对象是这匹马那匹马，其外延则是一个真和假。
但是一匹马怎么谈论其外延？是真和假，还是对象和真值的对？从弗雷格关于数的谈论来看，是前者的情况。是一个对象，而非一个对。
再看后面一段：
就其出现在弗雷格系统的情形而言，罗素悖论现在可陈述如下。
1如果每一个概念都相对于所有对象来定义（如我们已经看到的，这就是弗雷格的主张），那么，每一个概念都可以看作是把所有对象划分成两类：那些处于它之下的对象，和那些不处于它之下的对象。
2如果概念的外延是对象（弗雷格假定它们是如此，就像数一样），那么，外延本身也可以划分成两类：那些处于该概念之下并且它们是其外延的外延（例如概念是一个外延的外延），和那些不处于该概念之下并且它们本身不是其外延的外延（例如，概念是一匹马的外延）。
3但是，现在考虑概念是一个并不处于它自身之下的概念的外延。这个概念的外延是否处于该概念之下？如果它处于该概念之下，则它不处于该概念之下；如果它不处于该概念之下，则它处于该概念之下。
我们已经得出了一个矛盾：这就是罗素悖论。
2处于该概念之下并且它们是其外延·的外延
这样的一个外延是一个对象
它作为对象又处于该概念之下
这就是“与概念F等数的”这样的概念的情况，处于该概念之下的对象和其外延之间意谓相等。符合这点的，只有逻辑对象：真，数的对象。
（例如概念是一个外延·的外延）
括号中的这句话，指出的是这样一种概念：它可以为其外延（作为对象）所谓述。但是，这个例子指出的不但是一个其外延是逻辑对象的概念，还包括所有其外延是抽象对象的概念。
（再理解：它们是其外延。这就是说概念为其外延所谓述。前半句又指出外延处于概念之下。这就是说，概念和外延相互谓述。只有一种情况：它们之间意谓相等。
概念的外延处于概念之下，譬如“与概念F的外延等数的”这样的概念。它们是其外延，指的是这个外延同时又是自身作为对象补充概念之后的东西的意谓。这就是说，外延/对象a，处于概念F之下，并且a补充F之后产生的还是a。）
而另一个例子中，
（例如，概念是一匹马的外延）
指出的是这样一个概念，一匹马，它本质上就是概念，而不是对象。其外延也是一个真值。但是真值不处于一匹马这个概念之下。所以这里的情况是，这个概念谓述对象，但是它的外延不处在自身之下。
（再理解：它们本身不是其外延。它们不能为其外延所谓述。它们和其外延之间意谓不相等。可以把外延理解为概念所指出的东西，概念为对象的补充产生的东西。比如一匹马不是一个真值。
同时它们不处于概念之下。概念的外延和处于概念之下的对象之间是不同的类。比如抽象对象的真和实在对象之间的不同。一个真值不处于一匹马这个概念之下。
对比的是前面的情况：与F的外延等数的 这个概念的外延和处于其下的对象，都是数。概念文字中的一个句子，基于真而真，作为真值函项，处于其下的对象和其外延或函数值都是真。
一匹马这个概念的例子。其外延是真，处于其下的对象是这匹马那匹马。真不处于这匹马之下，并且一匹马这个概念不是真。
“与概念F的外延等数的”这样的概念，一个特点是，其外延不需要处于其下的对象对它的补充而得到。而是，处于其下的对象由其产生或确定下来，是一个分析的结果的东西。而其外延，也就先天地或总是这个数。这里一切的基础都在这个概念之内了，这个概念作为语境同时给出了所有的东西：处于其下的对象和其外延，它们是同一个。事实上，这个概念的内容，就是对于这个意谓相等的等式的给出。
下面这句。它们本身不是其外延，指的就是相应的凭自身并不能给给出其外延，而需要得到对象的补充才能产生出外延的东西来。一匹马 这概念就是这样的例子。
3的情况 概念能确定自身的外延，但是其外延作为对象不处于这概念之下。
有说明例子么？摹状词是其外延，或能确定自身的外延，但是摹状词作为概念，没有相等的关系，并且其意谓一个实在对象。实在对象不能作为别的东西之间相等的东西。比如a的父亲是b，但是父亲是一个相对关系。父亲这关系和b这个人之间没有属种之间的或类和项之间的从属关系。数和某个数，颜色和某个颜色，方向和某个方向却具有这样的类和项之间的从属关系。因此可以说两个概念的外延之间等数，却不能说两个短语之间等父亲。再短语的情况里，相等的是那个人，但是这个人和父亲之间并不具有从属关系。相等的数，方向，颜色是抽象概念，不是关系。而父亲却是一个关系。
那么“与直线a方向相等的”这个概念呢？和数/真的情况一样。
要考虑不含有“与···在···上相等”的概念。“与a相等”呢？
（“暮星”）与“晨星”在意谓上相等。
处于“与“晨星”意谓相等的”这个概念之下的可以是“金星”，也可以是“暮星”。
“与“晨星”意谓相等”这个概念的外延是金星，而非一个真值。或者说任何这三个名称意谓的那颗星。但是“暮星”的意谓区别于“暮星”这个符号或专名，它不能作为对象处于这个概念之下。
“与“晨星”意谓相等的”这个概念，其外延和“与“暮星”意谓相等的”，“与“金星”意谓相等的”的外延相等。
看看后面阐述，这没有抓住鲁肃悖论的攻击点。
罗素悖论只是语言游戏么？
Ca指出两个概念外延相等
Cb指出同样的对象处于两个概念之下
公理5指出Ca和Cb之间等价。
）
不处于该概念之下并且它们本身不是其外延·的外延
当一个概念的外延不是作为对象的情况时，当它是一个概念时，概念谓述其外延，而其外延不能作为给出来的东西（不能在穷尽中确定地给出），不能作为对象。由此该概念不能为对象所谓述。
只是说它们不是其外延，拗口。外延不是外延？
我猜测，这里两个‘外延’的意谓不同。
错误理解
不处于该概念之下并且它们本身不是其外延·的外延
指一匹马这种概念的情况，其外延是一个真值，真作为对象不处于该概念之下。但是后半句怎么解释？
这里，前一个外延指该概念的外延，不是其外延·的外延，后面这个外延没有和该概念的联系。是一切实体作为对象除掉该概念的外延之后的东西。
这样，就和前面那种外延基于它们作为对象而言对于所有对象而言作出了一种划分。
3概念是一个并不处于它自身之下的·概念的外延
或者改写为：概念的外延并不处于它自身之下。
这里是对于一种概念的定义，指出这么一种概念的情况：基于概念的外延来给出一个概念。这么一个概念的外延是：并不处于它自身之下的概念的外延。这里的它，指
题外话：
概念的一种划分。概念的外延是对象，它可以为其外延所谓述。
或者概念的外延根本上不是对象，只能概念谓述其外延中的对象，其外延却不能谓述概念。因为其外延根本上是概念，它不能在穷尽中
不对，这里我又把概念的外延和处于概念之下的对象的集合等同起来了，混淆起来。
这段话有很多概念上的混淆。值得一句句审查。
原因可能是百度外延，把某匹马看作马这个概念的外延。这样的话，a的孩子这个概念的外延，就是a的所有孩子。
可是弗雷格的逻辑里，概念的外延是对象而非类。
在概念含有“···相等的”这样的概念里： 概念的外延或者是一个真值：真/假，或者是一个数，或者是一个方向，颜色。
但是在其它的情况里，概念的外延是一个真值。
1
读书和考古类似。依据文本说话，产生观点。话不落空。和研究历史一样，要用材料说话。不只凭想象力天马行空。
2
人为什么会考虑哲学问题？除掉理性的谬误。哲学病
人对于逻辑的兴趣源于哲学，还是源于经验生活之中原因的探究。
从经验中原因的诉求，可以引入科学。什么使得从经验出发引到逻辑的考虑？
逻辑和形而上学是一回事么？
知识基于客观性，或者说基于真。分析带来的逻辑关乎客观性么？
人在现象的思考，在其原因的思考中作为主体起作用。人的现象，社会的现象的理解以人作为主体为最终的根据。规则最终还有人为自身立法的成因。在人作为主体和经验世界交叉，并且前者作为后者的原因的东西时，发生的是不是就是形而上学？
3
be指出一种存在，而非意谓的相等。
4
一个概念的外延，如果是对象，或者说可以为确定的对象所描述/谓述，那么它就是对象。不然，它就是概念。
判断概念的外延是对象或概念，在于能否为有限的对象所穷尽中给出。对象是满足的，是确定指出来的东西。概念是不满足的，对于一个概念的外延，任何有限的对象都不能穷尽它，把它给出来，那么，对于对象方面所做出的对于概念的外延的谓述而言，就是不满足的。它是概念，而非对象。
5
爱在于对象式的需要。
它自然地把生理心理的主观情况带进来了。
而理解在于客观性
6
不理解客观世界，就会混淆行动中遵从规则和人作为主体的自由的区别。只有理解之下，人才能在恰当之处运用人作为主体的自由意志。
并且，理解本身就在穿透客观世界的规则，靠近规则的规范性所在——人可以作为主体的场合设定下来这些规则。
7
就w的语言游戏的理解而言，我们总是基于我们日常考虑的东西为轴心来规范我们语言的使用，我们表达的清楚就说明我们想的清楚，而说不清楚也就恰恰是没有想清楚。
清晰在推论中，就是明确给出结论，以及支持它的论据和逻辑。在思想中就是对象和概念的清晰。
思想的清晰，在于概念的清晰无误。学习概念的用法，在使用和语境中。因此理论学习总是置于事情的考虑中。
8
神 信则有 不信则无
生命的存在，to be则有，not to be 则无。后者即实践中自我造就。
9
有机会，和某物存在是一样的。它并不就意味着把握机会，如同某物地存在并非就是某物的判断。能作出判断还另外需要根据。
10
或者理解力不够，或者作者讲的不够清楚，或者读者缺乏系统的基础概念，引起阅读中缺乏理解的基础的发散。
在自然科学中，我们对于自然规律或自然法则的尊重是无疑的，我们在使用牛顿三大力学定理时，不会去对它作出质疑。我们理解它，并且通过实验中实证它，然后就接受它。我们在自然科学中主要是使用自然规律的命题，而不是挑战它。不是说不可挑战，而是挑战它意谓着的东西，并非我们在学习它或者日常运用它的语境之中的事情。挑战它，挑战的是这个世界的基本认知，自然法则的认知，这不是日常经验的工作。而我们在学习它们时，并不是处于这么一种语境里。科学素养深厚，至少基础概念扎实，对于既有理论具有充分的理解，才能谈得上挑战它们。常人不会不自量力在深刻理解某个自然规律之先，就尝试挑战它。挑战一个东西，至少要知道挑战的是什么。而了解对象，就是理解。缺乏理解的基础，谈不上挑战某种东西。
但是在哲学的逻辑的情况中，我们似乎掉入了另一种情况。我们缺乏对于逻辑命题的基本的尊重。似乎逻辑是随意的观点，每个人可以从自己的观点提供出一套普遍的逻辑来。这是错觉。
逻辑基于对现象的普遍考察的基础上，它因为其普遍性而具有客观性。考察的对象不是偶然的，而是普遍的考察，因此，逻辑是对于普遍对象的言说。而普遍对象，对于所有人都是同一些东西。就其对于这个人那个人而言是同一些东西而言，有权主张逻辑命题的客观性。
类似的情况也在经验命题里。虽然一个经验命题中的对象可以是任何东西，但是只要这个对象设定下来，那么关于它的一个命题就具有客观性。虽然我们可以基于偶然谈到一个红苹果，但是对于这个红的苹果，我就不能说它是绿的。这就是经验中的真。逻辑也以是关于真的谈论。它是客观的。
因此，对于逻辑，对于哲学的反思，可以报以基本的敬意。对它要有基本的尊重，要有质疑之先先作理解的耐心：如果认知到逻辑总是对于我们的思维的普遍规律的考虑，是对于我们自身的考察得到的事实，或者说观点，那么基于这种亲身的或切身相关的原因，我们就会对它抱有基本的兴趣和耐心，去理解，了解。
11
性，或任何快乐，都是基底上无意识的冲动。动物生来具有这样的冲动，是通过生理刻入意识中的源代码。
那原因的诉求，就刻意看作相对的另一种存在/.一的冲动。
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当一份工，一件事情，除了收入之外，没有别的意义，或者伴随着负面的东西多过正面的东西，价值为负时的体验。
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逻辑是从世界之中分析出来的。因为世界作为人的存在或意识的内容，那么，逻辑就是对于人在认知世界的活动中的所遵从的普遍规律。如果引入实践，那么逻辑就是对于人具有目的的行动所遵从的规则。