矩阵重叠问题判断

创作背景

看到一道题目有感而发想写一篇题解,涉及的是一种逆向思维

桌面窗体重叠 - 洛谷icon-default.png?t=N7T8https://www.luogu.com.cn/problem/U399827题目来源于《信息学奥赛课课通》

矩阵重叠问题判断_第1张图片

大致就是给一个长方形的左上顶点坐标(x1,y1)和右下顶点坐标(x2,y2),一个长方形的左上顶点坐标(x3,y3),右下顶点(x4,y4),然后判断这两个长方形是否重合。

思路呈现

1.一开始想的是从判断一个点是否在一个长方体内->判断一个长方形是否有点在另一个长方形中

代码如图:(显而易见的蠢)

矩阵重叠问题判断_第2张图片

2.逆向思维的利用 

判断两个长方形是否不重叠  判断两条线段是否相交->判断两个长方形是否相交

比如说在x轴上,我判断(x1,0)和(x2,0)的线段和(x3,0)和(x4,0)的线段是否相交的话,要考虑四种情况(因为不知道x1和x3的大小、x2和x4的大小)

if(x3

但是如果考虑不相交的话,最小值大于最大值,最大值小于最小值就不想交了

if(x3>x2||x4

显然简单了很多。

然后在y轴上考虑不相交

if(y3>y2||y4

只要在x、y轴上有一个判断不相交,这这两个长方形也不会相交,所以逻辑用或

合起来判断是否相交,true为相交。

if(!(x3>x2||x4y2||y4

再利用德·摩根定律

非(P 且 Q) = (非 P) 或 (非 Q)

非(P 或 Q) = (非 P) 且 (非 Q)


可以把条件更改为如下的条件:

if(x3<=x2&&x4>=x1&&y3<=y2&&y4>=y1)

完整代码:

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int main() {
int x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4;
cin>>x1>>x2>>y1>>y2>>x3>>x4>>y3>>y4;
if(x3<=x2&&x4>=x1&&y3<=y2&&y4>=y1){
	int left=max(x1,x3);
	int right=min(x2,x4);
	int top=max(y1,y3);
	int bottom=min(y2,y4);
//	cout<

扩展

如何用编程N个人中解决至少两个人的生日在同一天的问题

1.至少两个人,那要考虑2个人,3个人,......n个人生日在同一天的情况。就比较复杂。

2.使用了逆向思维的话

过来想,N个人生日全不相同的概率:365/365*(364/365)*(363/365)*...*[(366-n)/365]…………[即后N-1个人与前面的人都不一样]
=364!/[(365-n)!·365^(N-1)]

(第一个人的生日可以在任何一天,第二个人的生日是除了第一个人生日那天外的任何一天.......)
所以至少有两人是同一天生日的概率为1-364!/[(365-n)!·365^(N-1)].

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