最短路总结2 堆优化dijkstra

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最短路总结1 最短路问题概述与朴素dijkstra
最短路总结2 堆优化dijkstra
最短路总结3 BellmanFord
最短路总结4 SPFA及应用
最短路总结5 floyd

1.朴素dijkstra的改进

朴素dijkstra的流程：

1. 初始化各点到源点的距离
2. 迭代n-1次（除源点外有n-1个点）
   （1）在最短路未确定的点中，找距离源点最近的点v。（用bool数组标识该点的最短路是否已经确定）
   （2）用v点去更新全图所有点的当前最短路距离（dist[])
   （3）若i点满足：dist[i] > dist[v] + w[v][i]则更新i点的dist值
   更新全图后将该点设置为最短路已经确定

在整个流程中，时间复杂度的上限由2.（1）也就是”在最短路未确定的点中，找距离源点最近的点v。“这一步决定，因为这一步时间复杂度最大。堆优化版就是利用堆的快速自维护顺序的特性，加快这一过程。

2.priority_queue

1. C++里的堆，其实就是优先队列，头文件
2. 默认声明的优先队列是大根堆，需要小根堆时（比如我们这里找距离源点最近的点)需要声明为：priotity_queue,greater> q;
3. 当需要使用其他类型的变量作为元素时，将上述int改变即可，如：

typedef pair<int,int> pa;
priotity_queue<pa,vector<pa>,greater<pa>> q;

3.模板

1. 算法原理没有改变，但是堆优化版一般用于稀疏图，用邻接表存储。
2. 由于用优先队列存储，存在一个问题：优先队列并不能像数组那样任意的修改元素，在优先队列中，假如要更新元素，实际操作是：将新的元素直接插入优先队列，旧的元素不管。由于优先队列会自动维护顺序，更新后的元素的距离肯定比旧元素的距离小，则旧元素必定向堆的底部下沉，新元素必定在旧元素的上方，当取出元素时，新元素也就是距离小的元素一定会最先被取出，此时设置一个bool标识已取出，后面遇到的直接跳过即可。

typedef pair<int, int> PII;

int n;      // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N];     // 存储每个点的最短距离是否已确定

// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, 1});      // first存储距离，second存储节点编号
    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

	int ver = t.second, distance = t.first;
	if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;

	for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > distance + w[i])
            {
                dist[j] = distance + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
   }
    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

4.板子题

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。
请你求出1号点到n号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出-1。
输入格式
第一行包含整数n和m。
接下来m行每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。
输出格式
输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出-1。
数据范围
1≤n,m≤1.5×1051≤n,m≤1.5×105,
图中涉及边长均不小于0，且不超过10000。
输入样例：
3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4
输出样例：
3

#include
#include
#include
#include
#include

using namespace std;

typedef pair<int,int> pa;
const int N=150050,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m;
vector<int> g[N];
vector<int> ww[N];
int dist[N];
bool st[N];
priority_queue<pa,vector<pa>,greater<pa> > q;

int dijkstra() {	
	memset(dist,inf,sizeof(dist));	
	dist[1]=0;
	q.push({0,1});
	while(q.size()) {
		pa t=q.top();
		q.pop();
		int dis=t.first,v=t.second;
		if(st[v]) continue;
		st[v]=1;
 
  		for(int i=0;i<g[v].size();i++) {
   			int k=g[v][i];
   			int w=ww[v][i];
			if(dist[k]>dis+w) {
			dist[k]=dis+w;
			q.push({dist[k],k});
   			}
  		}
	}

	if(dist[n]>=inf) return-1;
	else return dist[n];
}
int main()
{
 cin >> n >> m;
 while(m --) {
 	int x,y,z;
  	cin >> x >> y >> z;
	if(x!=y) {
	   g[x].push_back(y);
	   ww[x].push_back(z);
	  }
 } 
 int t=dijkstra();
 cout << t;
 
 return 0;
}