模型之预测人口增长

简化模型预测未来人口：经济学中的生物学问题

较“软”性的科学——比如生物学和经济学中，也充满着各种数学模型，这些模型都远比它们所要真正表示的现象简单得多，甚至以某些方式刻意地使其不够精确，但是这些模型还是有其用场、富于启发性。就以一个在经济学上有重要意义的生物学问题为例，我们来考虑预测一国未来20年的人口。我们可能会用到一种非常简单的模型，即将全国人口表示为一组数对（t，p（t）），其中 t 表示时间，P（t）表示时刻 t 的人口规模。另外我们要用到两个数b和d，来表示出生率和死亡率。所谓出生率和死亡率，即每年出生人数和死亡人数占总人口的比例。

初始问题的答案

假设我们已知2002年初的总人口是p。根据上述模型，2002年的出生人数和死亡人数将分别为bp和dp，因此2003年初的总人口将为p+bp-dp=(1+b-d)p。其他年份亦然，因此我们就能够写出公式p（n+1）=（1+b-d）p（n），意即n+1年年初的人口是n年年初人口乘以（1+b-d）。换句话说，每一年人口数量都会乘上（1+b-d）。那么20年后的人口就是乘以$(1+b-d{)}^{20}$，于是就得出了初始问题的答案。

超越简化模型：考量社会动态因素的人口预测挑战

这个模型己经比较好了，它能向我们证明，如果出生率明显高于死亡率，那么人口就会急剧增长。但即便如此，它也还是不够现实的，它作出的预测可能很不精确。比方说，模型中假设出生率和死亡率在20年中都保持不变，这并不太可信。过去的事实已经证明，出生率和死亡率经常会受到社会变迁和政治事件的影响，如医学进步、新型疾病出现、女性首次生育年龄增大、税负激励以及偶尔发生的大规模战争等等。生育率与死亡率会随时间变化还有另一个原因，就是一国国民的年龄分布可能相当失衡。比方说，15年前出现了一波婴儿潮，那么我们就有理由预期再过10年到15年出生率就会增加。

复杂化模型：考虑社会动态因素的人口预测挑战与潜在影响

因此，通过引入其他因素来使模型复杂化，这个想法相当诱人。我们记出生率和死亡率分别为b（t）和d（t），使其可以随时间变化。我们并不想单用一个数字p（t）来表示总人口，我们可能想要知道不同年龄层各有多少人。如果同时还能尽可能多地知道各个年龄层的社会态度和行为倾向，也会对预测未来的出生率和死亡率有所帮助。获取这样的统计信息是十分昂贵且困难的，但这些信息确实能够大幅提高预测的精度。因此，没有一种模型能够脱颖而出，声称比其他模型都好。关于社会和政治的变迁，谁也不可能确切地说出情况会是什么样子。关于某种模型，我们合理期望的最多只能是某种有条件的预测，也就是说模型只能告诉我们，这样的社会或政治变迁如果发生的话会产生怎样的影响。

总结

在生物学和经济学等"软"科学领域中，简化的数学模型被广泛应用于预测人口发展等现象。尽管这些模型存在简化和不够精确的问题，但它们仍具有启发性和一定的应用价值。然而，考虑到社会动态因素对人口变化的影响，复杂化模型逐渐受到关注。通过引入变动的出生率、死亡率以及不同年龄层的人口统计信息，这些模型可以提高预测的精度。然而，获取这些信息是昂贵且困难的，因此没有一种模型能够完美解决问题。在预测人口发展时，我们只能期望某种有条件的预测，并探讨不同社会和政治变迁对未来人口的潜在影响。因此，需要不断探索和完善模型，以更准确地预测人口发展趋势。