模型之预测人口增长

简化模型预测未来人口:经济学中的生物学问题

较“软”性的科学——比如生物学和经济学中,也充满着各种数学模型,这些模型都远比它们所要真正表示的现象简单得多,甚至以某些方式刻意地使其不够精确,但是这些模型还是有其用场、富于启发性。就以一个在经济学上有重要意义的生物学问题为例,我们来考虑预测一国未来20年的人口。我们可能会用到一种非常简单的模型,即将全国人口表示为一组数对(t,p(t)),其中 t 表示时间,P(t)表示时刻 t 的人口规模。另外我们要用到两个数b和d,来表示出生率和死亡率。所谓出生率和死亡率,即每年出生人数和死亡人数占总人口的比例。

初始问题的答案

假设我们已知2002年初的总人口是p。根据上述模型,2002年的出生人数和死亡人数将分别为bp和dp,因此2003年初的总人口将为p+bp-dp=(1+b-d)p。其他年份亦然,因此我们就能够写出公式p(n+1)=(1+b-d)p(n),意即n+1年年初的人口是n年年初人口乘以(1+b-d)。换句话说,每一年人口数量都会乘上(1+b-d)。那么20年后的人口就是乘以 ( 1 + b − d ) 20 (1+b-d)^{20} (1+bd)20,于是就得出了初始问题的答案。

超越简化模型:考量社会动态因素的人口预测挑战

这个模型己经比较好了,它能向我们证明,如果出生率明显高于死亡率,那么人口就会急剧增长。但即便如此,它也还是不够现实的,它作出的预测可能很不精确。比方说,模型中假设出生率和死亡率在20年中都保持不变,这并不太可信。过去的事实已经证明,出生率和死亡率经常会受到社会变迁和政治事件的影响,如医学进步、新型疾病出现、女性首次生育年龄增大、税负激励以及偶尔发生的大规模战争等等。生育率与死亡率会随时间变化还有另一个原因,就是一国国民的年龄分布可能相当失衡。比方说,15年前出现了一波婴儿潮,那么我们就有理由预期再过10年到15年出生率就会增加。

复杂化模型:考虑社会动态因素的人口预测挑战与潜在影响

因此,通过引入其他因素来使模型复杂化,这个想法相当诱人。我们记出生率和死亡率分别为b(t)和d(t),使其可以随时间变化。我们并不想单用一个数字p(t)来表示总人口,我们可能想要知道不同年龄层各有多少人。如果同时还能尽可能多地知道各个年龄层的社会态度和行为倾向,也会对预测未来的出生率和死亡率有所帮助。获取这样的统计信息是十分昂贵且困难的,但这些信息确实能够大幅提高预测的精度。因此,没有一种模型能够脱颖而出,声称比其他模型都好。关于社会和政治的变迁,谁也不可能确切地说出情况会是什么样子。关于某种模型,我们合理期望的最多只能是某种有条件的预测,也就是说模型只能告诉我们,这样的社会或政治变迁如果发生的话会产生怎样的影响。

总结

在生物学和经济学等"软"科学领域中,简化的数学模型被广泛应用于预测人口发展等现象。尽管这些模型存在简化和不够精确的问题,但它们仍具有启发性和一定的应用价值。然而,考虑到社会动态因素对人口变化的影响,复杂化模型逐渐受到关注。通过引入变动的出生率、死亡率以及不同年龄层的人口统计信息,这些模型可以提高预测的精度。然而,获取这些信息是昂贵且困难的,因此没有一种模型能够完美解决问题。在预测人口发展时,我们只能期望某种有条件的预测,并探讨不同社会和政治变迁对未来人口的潜在影响。因此,需要不断探索和完善模型,以更准确地预测人口发展趋势。

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