给出长为 n n n 的序列 A A A,构造长为 n n n 的序列 B , C B,C B,C,要求:
最小化 ∑ i = 1 n ∣ B i ∣ + ∣ C i ∣ \sum_{i=1}^n |B_i|+|C_i| ∑i=1n∣Bi∣+∣Ci∣。
这里有一个贪心:若 A i > A i + 1 A_i>A_{i+1} Ai>Ai+1,则 B i + 1 = B i , C i + 1 = C i + A i + 1 − A i B_{i+1}=B_i,C_{i+1}=C_i+A_{i+1}-A_i Bi+1=Bi,Ci+1=Ci+Ai+1−Ai,反之同理。
证明考虑反证,任取最优的 B i + 1 , C i + 1 ( B i + 1 > B i , C i + 1 < C i ) B_{i+1},C_{i+1}(B_{i+1}>B_{i},C_{i+1}
那么,只要确定 B 1 , C 1 B_1,C_1 B1,C1, B i , C i ( i > 1 ) B_i,C_i(i>1) Bi,Ci(i>1) 就可以分别用 B 1 , C 1 B_1,C_1 B1,C1,从而得到答案。此时把 C 1 C_1 C1 用 A 1 − B 1 A_1-B_1 A1−B1 表示,要最小化的式子就是形如 ∑ ∣ B 1 − p i ∣ \sum|B_1-p_i| ∑∣B1−pi∣,最小值在 p p p 的中位数取得。方法很多。
时间复杂度 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn),这是排序的时间复杂度,可以不用排序。
#include
using namespace std;
const int N=2e5+1;
long long n,a[N],b[N],c[N],d[N];
int main()
{
cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
c[1]=a[1];
for(int i=2;i<=n;i++){
if(a[i-1]>a[i]){
b[i]=b[i-1];
c[i]=c[i-1]+a[i]-a[i-1];
}
else{
b[i]=b[i-1]+a[i]-a[i-1];
c[i]=c[i-1];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=-b[i],d[i]=b[i],d[i+n]=c[i];
sort(d+1,d+1+n*2);
long long ans=0;
for(int i=1;i<=2*n;i++){
ans+=abs(d[n]-d[i]);
}
cout<<ans;
}