AtCoder Regular Contest 170 C. Prefix Mex Sequence（dp mex性质）

题目

给定一个长为n(n<=5e3)的01字符串s，

求满足以下条件的长为n的序列a的方案数，答案对998244353取模

条件：

对于任意i∈[1,n]，

如果s[i]=1，则有A[i]=mex(A[1],A[2],...,A[i-1])

如果s[i]=0，则有A[i]≠mex(A[1],A[2],...,A[i-1])

其中，mex为未出现在集合内的最小正整数

思路来源

官方题解

题解

直观地想，是dp[i][j]表示前i个mex为j的方案数，

然后注意到会选了一些大于mex的数，所以为了转移，

就想办法把这些位置记录下来，实际对mex有贡献的时候再填进去，

但是，需要处理一个用x个位置覆盖了y种值的方案数，

求这个的复杂度很难降下来，应该是O(n^3)的

考虑另辟蹊径，dp[i][j]表示前i个出现了j种不同值的方案数，

可以这么做的原因是，无论mex是何值，

s[i]=1在值种类数确定的时候转移方程是相同的，s[i]=0也是相同的

所以，相当于是把mex不同的方案聚类起来，放在一起统计了

①如果s[i]=1，代表本次一定新选了一种数

[0,m]共m+1种数，只有之前

插入之前种类数里不存在的最小正整数的这个空隙，

每种方案对应的选法都是唯一的，dp[i][j]->dp[i+1][j+1]

②如果s[i]=0，本次可以新选，也可以不新选

如果不新选，之前有j种，本次挑一种，有j种方案，j*dp[i][j]->dp[i+1][j+1]

如果新选，之前有j种，

没出现的m+1-j种中，恰有一种不能选（会导致s[i]=1），其余都可以选，(m-j)*dp[i][j]->dp[i+1][j+1]

代码

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