斐波那契查找

概述

斐波那契查找是一种基于斐波那契数列的查找算法，用于在有序数组中查找目标元素的位置。与二分查找类似，斐波那契查找也是一种分治算法，它通过比较目标值与数组的中间元素来确定下一步的查找范围。

在介绍斐波那契查找算法之前，我们先介绍一下很它紧密相连并且大家都熟知的一个概念——黄金分割。

黄金比例又称黄金分割，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1:0.618或1.618:1。

0.618被公认为最具有审美意义的比例数字，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。因此被称为黄金分割。

在数学中有一个非常有名的数学规律：斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…….

（从第三个数开始，后边每一个数都是前两个数的和）。

然后我们会发现，随着斐波那契数列的递增，前后两个数的比值会越来越接近0.618，利用这个特性，我们就可以将黄金比例运用到查找技术中。

基本思想：也是二分查找的一种提升算法，通过运用黄金比例的概念在数列中选择查找点进行查找，提高查找效率。同样地，斐波那契查找也属于一种有序查找算法。

斐波那契查找也是在二分查找的基础上进行了优化，优化中间点mid的计算方式即可

步骤

算法步骤如下：

1. 首先，确定一个斐波那契数列。斐波那契数列的前两个数是1和1，后续的数是前两个数之和（1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …）。

2. 找到一个等于或大于数组长度的斐波那契数F[k]，其中k是一个非负整数。可以通过递推或迭代计算斐波那契数列，直到找到满足条件的F[k]。

3. 将数组扩展为长度为F[k]，并将多出的位置值设为数组最后一个元素的值（即将数组填充到斐波那契数列的长度）。

4. 设置两个指针：低指针low和高指针high，初始时分别指向数组的首位和末位。

5. 比较目标值与数组的中间元素arr[mid]，其中mid = low + F[k-1] - 1。

   • 如果目标值等于arr[mid]，则找到了目标元素，返回mid。

   • 如果目标值小于arr[mid]，则目标元素在低指针low和mid之间，将高指针high更新为mid-1，并将k减1。

   • 如果目标值大于arr[mid]，则目标元素在mid和高指针high之间，将低指针low更新为mid+1，并将k减2。

6. 重复步骤5，直到找到目标元素或低指针low大于高指针high为止。

7. 如果找到目标元素，返回其位置；否则，返回-1，表示目标元素不存在于数组中。

斐波那契查找的时间复杂度为O(log n)，与二分查找相当，但在某些情况下，斐波那契查找具有更好的性能表现。它适用于较大的有序数组，并且对于元素分布不均匀的情况下，查找性能更稳定。

代码示例

需求：定义一个方法利用斐波那契查找，数据如下：{2, 5, 8, 12, 16, 23, 38, 56, 72, 91};

要求：查询某个元素是否存在

代码如下：

package text.text02;

/*
斐波那契查找：
    也是二分查找的一种提升算法，通过运用黄金比例的概念在数列中选择查找点进行查找，提高查找效率。同样地，斐波那契查找也属于一种有序查找算法。

斐波那契查找也是在二分查找的基础上进行了优化，优化中间点mid的计算方式即可


 */
public class text09A {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {2, 5, 8, 12, 16, 23, 38, 56, 72, 91};

        //定义两个要查询的数（一个能查到，一个查不到）
        int target1 = 23;
        int target2 = 48;
        //调用fibonacciSearch方法
        int result1 = fibonacciSearch(arr, target1);
        int result2 = fibonacciSearch(arr, target2);
        //调用judge方法，并将fibonacciSearch方法的返回值和要查找的数作为参数
        judge(result1, target1);       //23存在数组中，其索引为：5
        judge(result2, target2);       //48不存在于数组中

    }

    public static int fibonacciSearch(int[] arr, int target) {
        //定义一个变量记录数组的总长度
        int n = arr.length;

        //初始化斐波那契数列
        int fib2 = 0; // 第二个斐波那契数初始化为0
        int fib1 = 1; // 第一个斐波那契数初始化为1
        int fib = fib1 + fib2; // 当前斐波那契数

        //构建斐波那契数列，使得最大斐波那契数不超过数组长度
        //循环直到找到最大的斐波那契数
        while (fib < n) {
            fib2 = fib1; //将第二个斐波那契数更新为前一个斐波那契数
            fib1 = fib;  //将第一个斐波那契数更新为当前斐波那契数
            fib = fib1 + fib2;   // 计算新的当前斐波那契数
        }

        int offset = -1; // 保存数组的偏移量
        //斐波那契数列中进行迭代搜索
        while (fib > 1) {
            int i = Math.min(offset + fib2, n - 1);  //计算当前位置

            //根据当前位置与目标值的关系进行调整。
            //如果找到目标值，返回索引位置
            if (arr[i] == target) {
                return i;
            }
            //如果当前值小于目标值，调整斐波那契数列以向后搜索
            else if (arr[i] < target) {
                fib = fib1;
                fib1 = fib2;
                fib2 = fib - fib1;
                offset = i;
            }
            //如果当前值大于目标值，调整斐波那契数列以向前搜索
            else {
                fib = fib2;
                fib1 = fib1 - fib2;
                fib2 = fib - fib1;
            }
        }
        //检查当前斐波那契数是否为1，并且下一个元素是否为目标值。
        //如果是，返回偏移量加1的索引位置。
        if (fib1 == 1 && arr[offset + 1] == target) {
            return offset + 1;
        }
        //如果未找到目标值，返回-1表示未找到。
        return -1;
    }

    //定义一个方法根据interpolationSearch方法的返回值判断
    public static void judge(int index, int number) {
        if (index == -1) {
            System.out.println(number + "不存在于数组中");
        } else {
            System.out.println(number + "存在数组中，其索引为：" + index);
        }
    }
}

在这个示例中，我们定义了一个名为fibonacciSearch的静态方法，接受一个有序整数数组arr和要查找的目标值target作为参数。

在方法内部，我们首先确定一个不小于数组长度的斐波那契数fib，并且获取斐波那契数列中的第二个数fib2和第一个数fib1。

接下来，我们将当前的斐波那契数fib作为查找区间的大小。通过迭代，我们不断更新fib1、fib2和fib，直到fib不小于数组长度。此时，fib2表示最后一个小于或等于数组长度的斐波那契数。

然后，我们使用偏移量offset来跟踪查找区间的起始位置，在每一次迭代中，我们根据目标值与数组中间元素的比较结果，将查找区间调整到适当的位置。

如果找到目标值，我们返回其位置；如果斐波那契数fib1为1并且偏移位置的下一位等于目标值，我们也返回该位置；否则，返回-1，表示目标值不存在于数组中。

在main方法中，我们定义了一个示例数组arr和要查找的目标值target，然后调用fibonacciSearch方法来执行查找操作。如果找到目标值，则打印其索引；否则，打印目标值不存在于数组中的消息。

输出结果