寒假思维训练day10

 参考博客：寒假思维训练day10 浅谈状态机DP-CSDN博客

宣传一下我总结的几个构造题模型，一点个人的浅薄见解：

  1、前后缀贪心，比如说观察前后缀的sum，去看以后怎么考虑最好。Problem - 1903C - Codeforces

2、双指针贪心法，考虑两端相消或者相互作用，还有就是考虑左右边界。   Problem - 1891C - Codeforces

Problem - 1907D - Codeforces

3、转换观察法，有些关系可以抽象成图，观察图的某些性质去总结规律。也可以抽象成一个集合，两个集合相等可以说明有解可构造。Problem - 1891C - Codeforces

4、打表找规律，一般没什么规律可循即可打表找规律，一般和数论有关的很喜欢考，acm也喜欢考，属于人类智慧题。Problem - 1916D - Codeforces

5、公式推导演算，常见的分为公式的等价变形、公式的化简（这个常考，一般需要先证明某些性质，可以直接抵消，一般如果原公式处理起来很复杂时就可以考虑）。Problem - 1889B - Codeforces

6、考虑奇偶数去简化问题或者分类问题，从其中的一些运算性质入手，因为奇数偶数的加减以及%运算（这个结论很重要）的结果的奇偶性是固定的，Problem - 1898C - Codeforces

7、根据性质构造模型，看看能不能分成几个块，几个不同的集合，再选择算法去解决。Problem - 1873G - Codeforces

8、考虑从小到大处理，或者是从大到小处理，有时候先处理小的对大的不会有影响，或者反过来，这样的处理顺序是最完美的。Problem - 1904D2 - Codeforces

9、边界贪心法，一般要在问题的最边界处考虑，有时候这样做结果是最优的，或者考虑边界上的影响，假如让影响最小，就使得影响<= 固定值 。 ​​​​​​Problem - E - Codeforces and Problem - 1903C - Codeforces

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寒假思维训练Day10(思维 + DP， 模型：性质构造法) Problem - 545C - Codeforces

(1)、题意：沿着道路有n棵树，它们的坐标分别为x1, x2, ..., xn。每棵树都有它的高度h[i]。伐木工人可以砍倒一棵树并使其倒向左或右。之后，树将占据区间[xi - hi, xi]或[xi, xi + hi]之一（闭区间）。没有被砍倒的树将占据坐标xi的一个点。伐木工人可以砍倒一棵树，前提是树倒下后占据的区间不包含任何被占据的点，问最多可以砍多少棵树。

(2)、题解：显然这道题的情况非常多，很难去贪心，这种情况不妨多往图论、DP方面去多想想，现在我们考虑一下如何用状态机DP去解决这个问题：

(3)、DP求解：

方程定义：DP[i][0], 将第i棵树砍到往左，DP[i][1] 不砍第i棵树，DP[i][2] 砍第i颗树往右边。

方程转移：
我们先要处理好两个边界，假设x[0]是负无穷，x[n + 1]是正无穷，它们的h[i] = 0，并且x[i], h[i] >= 1，默认1到n升序排列，这样子就可以探讨了，从前往后考虑（py伪代码）：

考虑dP[i][0], 也就是砍倒第i颗树往右倒：
if a[i] - b[i] > a[i - 1] + b[i - 1]:
    dp[i][0] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + 1
else:
    if a[i] - b[i] > a[i - 1]: dp[i][0] = max(dp[i - 1][1], d[i - 1][0]) + 1
    else: dp[i][0] = -1e18 (无解)


考虑dp[i][1], 也就是不砍第i颗树：
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) 


考虑dp[i][2], 也就是砍到第i颗树向右:
if a[i] + b[i] < a[i + 1]: dp[i][2] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + 1 
else: dp[i][2] = -1e18(无解)

(4)、答案代码：

#include 
#define int long long 
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10; 
int n, m;
int a[N], b[N]; 
int f[N][3]; 

// f[i][0] 左 
// f[i][1] 不放
// f[i][2] 右
int max(int x, int y, int z) {
    return max(max(x, y), z); 
}
void solve() {
   
    cin >> n;
    a[0] = -1e18, a[n + 1] = 1e18; 
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        cin >> a[i] >> b[i]; 
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        // f[i][0] 往左
        if(a[i] - b[i] > a[i - 1] + b[i - 1]) f[i][0] = max(f[i - 1][1], f[i - 1][0], f[i - 1][2]) + 1;
        else {
            if(a[i] - b[i] > a[i - 1]) f[i][0] = max(f[i - 1][1], f[i - 1][0]) + 1; 
            else f[i][0] = -1e18;
        }
        
        // f[i][1] 不动
        f[i][1] = max(f[i - 1][1], f[i - 1][0], f[i - 1][2]); 
        
        // f[i][2] 往右
        if(a[i] + b[i] < a[i + 1]) f[i][2] = max(f[i - 1][1], f[i - 1][0], f[i - 1][2]) + 1; 
        else f[i][2] = -1e18; 
    }
    
    cout << max(0ll, max(f[n][1], f[n][0], f[n][2])) << endl;
}
signed main() {
    int ts = 1;
    // cin >> ts;
    while(ts --) solve();
    
    return 0;
}