数据结构 - 第 2 章 线性表

考纲内容

(一)、 线性表的定义和基本操作

(二)、线性表的实现

          顺序存储;链式存储;线性表的应用

知识框架

数据结构 - 第 2 章 线性表_第1张图片

复习提示

线性表是考研命题的重点 ;

这类算法题实现起来比较容易而且代码量较少,但却要求具有最优的性能(时间 、空间复杂度),才能获得满分;

因此,需要牢固掌握线性表的各种操作(基于两者存储结构),在平时的学习中多注重培养动手能力;

另外,需要提醒的是,算法最重要的是思想!考场上的时间有限,在试卷上不一定要求代码具有实际的可执行性,因此应尽力表达出算法的思想和步骤,而不必过于拘泥于每个细节!注意算法题只能用 C/C++ 语言实现

2.1 线性表的定义和基本操作

线性表的定义和基本操作
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2.1.1 线性表的定义
线性表的定义 线性表是具有相同数据类型的 nn\geq 0)个数据元素的有限序列
表长 线性表中数据元素的个数 n
空表 当数据元素个数 n 为 0 时,称为 "空表"
线性表的一般表示

用 L 命名线性表,其一般表示为L = (a_1a_2 ,... ,a_ia_{i+1} ,... ,a_n)

线性表的逻辑特性

(i).a_1 是唯一的 "第一个" 数据元素,也称表头元素

(ii).a_n 是唯一的 "最后一个" 数据元素,也称表尾元素

(iii). 除表头元素外,每个元素有且仅有一个直接前驱

(iv). 除表尾元素外,每个元素有且仅有一个直接后继

线性表的特点

(i).   表中元素的个数有限

(ii).  表中元素具有逻辑上的顺序性,表中元素有其先后次序

(iii). 表中元素都是数据元素,每个元素都是单个元素

(iv). 表中元素的数据类型都相同,即每个元素占有相同大小的存储空间

(v). 表中元素具有抽象性,仅讨论元素间的逻辑关系,而不考虑元素究竟表示什么内容

注意

线性表是一种逻辑结构,表示元素之间一对一的相邻关系

顺序表和链表是指存储结构,两者属于不同层面的概念,不要将其混淆

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2.1.2 线性表的基本操作
##################################################################################
Init(&L) 初始化表:构造一个空的线性表
Length(L) 求表长:返回线性表 L 的长度,即 L 中数据元素的个数
Empty(L) 判空操作:若 L 为空表,则返回 true ,否则返回 false
LocateElem(L,e) 按值查找操作:在表 L 中查找给定关键字值的元素
GetElem(L,i) 按位查找操作:获取表 L 中第 i 个位置上的元素的值
Insert(&L,i,e) 插入操作:在表 L 中的第 i 个位置插入指定元素 e
Delete(&L,i,&e) 删除操作:删除表 L 中第 i 个位置上的元素,并用 e 返回被删除元素的值
PrintList(L) 输出操作:按先后顺序输出线性表 L 的所有元素的值
Destroy(&L) 销毁操作:销毁线性表,并释放线性表 L 所占用的内存空间
注意

(i). 基本操作的实现取决于采用哪种存储结构(顺序存储还是链式存储),存储结构不同,算法的实现也不同

(ii). "&" 表示 C++ 中的引用调用,若传入的变量是指针型变量,且在函数体内要对传入的指针进行修改,则会用到指针变量的引用型;在 C 语言中采用指针的指针也可以达到同样的效果

2.2 线性表的顺序表示

2.2.1 顺序表的定义
顺序表的定义
顺序表的概念 线性表的顺序存储又称顺序表

顺序表用一组地址连续的存储单元,依次存储线性表中的数据元素

从而使得逻辑上相邻的两个元素在物理位置上也相邻

位序

第 1 个元素存储在线性表的起始位置,

i 个元素的存储位置后面紧接着存储的是第 i+1 个元素;

i 为元素 a_i 在线性表中的 "位序"

顺序表的特点 表中元素的逻辑顺序与其物理顺序相同
顺序存储结构

假设线性表 L 存储的起始位置为 LOC(A)

sizeof(ElemType) 是每个数据元素所占的空间大小,

则表 L 所对应的顺序存储,如下图

数据结构 - 第 2 章 线性表_第2张图片
注意

线性表中元素的位序是从 1 开始的

数组中元素的下标是从 0 开始的

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线性表存储类型描述
一维数组可以是 静态分配 的,也可以是 动态分配
静态分配

由于数组的大小和空间事先已经固定,一旦空间占满,

再加入新的数据将会产生溢出,进而导致程序崩溃

#define MaxSize 50                  // 定义线性表的最大长度

typedef struct {

    ElemType data[MaxSize];     // 顺序表的元素

    int length;                              // 顺序表的当前长度

}SqList;                                     // 顺序表的类型定义

动态分配

存储数组的空间是在程序执行过程中通过动态分配语句分配的,

一旦数据空间占满,就另外开辟一块更大的存储空间,

用以替换原来的存储空间,从而扩充存储数组空间,

而不需要为线性表一次性划分所有空间

#define InitSize 100      // 表长度的初始定义

typedef struct {

    ElemType *data;       // 指示动态分配数组的指针

    int capacity;              // 数组的最大容量

    int length;                 // 数组的当前个数

}SeqList;                       // 动态分配数组顺序表的类型定义

C 的初始动态分配语句:

L.data = (ElemType*)malloc(sizeof(ElemType) * InitSize);

C++ 的初始动态分配语句:

L.data = new ElemType[InitSize];

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注意

动态分配并不是链式分配,还是属于顺序存储结构,

物理结构没有变化,依然是随机存储方式,

只是分配的空间大小可以在运行时决定

顺序表的特点

随机访问,即通过首地址和元素序号可在时间 O(1)  内,

找到指定的元素

顺序表的优点

存储密度高,每个结点只存储数据元素

顺序表的缺点

逻辑上相邻的元素在物理上也相邻,

所以插入和删除操作,需要移动大量元素

2.2.2 顺序表的接口
1. 存储结构
#include 
#include 

#define MAXSIZE 20
#define OK 1     // success
#define ERROR 0  // failure

typedef int Status;      // function return type
typedef int ElemType;    // simple data type 

typedef struct {
    ElemType *elem;
    int cap
    int len;
}SeqList;
2. 初始化表
Status InitList(SeqList* L)
{
    L->elem = (ElemType*)malloc(sizeof(ElemType) * MAXSIZE);
    if (L->elem == NULL)
    {
        printf("Out of memory!\n");
        return ERROR;
    }

    L->cap = MAXSIZE;
    L->len = 0;
    return OK;
}
3. 求表长
int Length(SeqList *L)
{
    return L->len;
}
4. 按值查找
int LocateElem(SeqList *L, ElemType e)
{
    for (int k = 0; k < L->len; k++)
    {
        if (L->elem[k] == e)
        {
            return k + 1;
        }
    }
    return -1;
}
按值查找
概念

在顺序表 L 中查找第一个元素值等于 e 的元素,

并返回该元素的位序

时间复杂度分析
最好情况 查找的元素就在表头,仅需比较一次,时间复杂度为 O(1)
最坏情况

查找的元素在表尾(或不存在)时,需要比较 n 次,

时间复杂度为 O(n)

平均情况

假设 p_i( p_i = 1/n )是查找的元素在第 i

(1 <= i <= L.len)个位置上的概率,

则在长度为 n 线性表中查找值为 e 的元素所需比较的平均次数为

\sum_{i=1}^{n}p_i*i  = \sum_{i=1}^{n}{1/n}*i = 1/n * {n*(n+1)/2} = (n+1)/2
因此,线性表按值查找算法的平均时间复杂度为 O(n)
5. 按位获取
Status GetElem(SeqList *L, int i, ElemType *e)
{
    if (i < 1 || i > L->len)
    {
        printf("Invalid index !\n");
        return ERROR;
    }

    if (L->len == 0)
    {
        printf("Empty List !\n");
        return ERROR;
    }

    *e = L->elem[i-1];
    return OK;
}

6. 插入
Status Insert(SeqList *L, int i, ElemType e)
{
    if (i < 1 || i > L->len + 1)
    {
        printf("Invalid index !\n");
        return ERROR;
    }

    if (L->len == L->cap)
    {
        L->elem = (ElemType*)realloc(L->elem, 2 * L->cap);
        if (L->elem == NULL)
        {
            printf("Out of memory !\n");
            return ERROR;
        }
    }

    for (int k = L->len; k >= i; k--)
    {
        L->elem[k] = L->elem[k-1];
    }

    L->elem[i-1] = e;
    L->len++;

    return OK;
}
插入操作
概念

在顺序表 L 的第 i (1 <= i <= L.len+1) 个位置插入新元素 e ;

若 i 的输入不合法,则返回 false ,表示插入失败;否则,

将顺序表的第 i 个元素及其后的所有元素均右移一个位置,

腾出一个空位置插入新元素 e ,顺序表的长度增加 1 ,

插入成功,返回 true

注意 区别顺序表的位序和数组下标
时间复杂度分析
最好情况

在表尾插入(即 i = n + 1),

不需要后移元素,时间复杂度为 O(1)

最坏情况

在表头插入(即 i = 1),元素后移语句将执行 n 次,

时间复杂度为 O(n)

平均情况

假设 p_i( p_i = 1/n )是在第 i 个位置上插入一个结点的概率,

则在长度为 n 的线性表中插入一个结点时,所需移动结点的

平均次数为

\sum_{i=1}^{n+1}{p_i}(n-i+1) = \sum_{i=1}^{n+1}{1/(n+1) * (n-i+1)}

={1/(n+1)}\sum_{i=1}^{n=1}(n-i+1) = {1/(n+1)}*{n(n+1)/2} = n/2

因此,线性表插入算法的平均时间复杂度为 O(n)
7. 删除
Status Delete(SeqList *L, int i, ElemType *e)
{
    if(L->len == 0)
    {
        printf("Empty List !\n");
        return ERROR;
    }

    if(i < 1 || i > L->len)
    {
        printf("Invalid index !\n");
        return ERROR;
    }

    *e = L->elem[i-1];


    for(int k = i; k < L->len; k++)
    {
        L->elem[k-1] = L->elem[k];
    }


    L->len--;
    return OK;
}
删除操作
概念

删除顺序表 L 中第 i(1 <= i <= L.len)个位置的元素,

若成功则返回 true ,并将被删除的元素用引用变量 e 返回;

若失败则返回 false

##################################################################################
时间复杂度分析
最好情况

删除表尾元素(即 i=n),无需移动元素,

时间复杂度为O(1)

最坏情况

删除表头元素(即 i=1),需移动除第一个元素外的

所有元素,时间复杂度为 O(n)

平均情况

假设 p_i( p_i = 1/n )是删除第 i 个位置结点的概率,

则在长度为 n 的线性表中删除一个结点时,所需移动结点的

平均次数为

\sum_{i=1}^{n}{p_i}(n-1)=\sum_{i=1}^{n}{1/n}(n-i)={1/n}\sum_{i=1}^{n}(n-i)={1/n}{n(n-1)/2}={(n-1)/2}
因此,线性表删除算法的平均时间复杂度为 O(n)

8. 打印
void PrintList(SeqList *L)
{
    if (L->len == 0)
    {
        printf("Empty List !\n");
        return ERROR;
    }

    for (int i = 0; i < L->len; i++)
    {
        printf("the %d th element is %d\n", i+1, L->elem[i]);
    }

    return OK;
}

9. 判空
bool Empty(SeqList *L)
{
    if (L->len == 0)
        return true;
    else
        return false;
}

10. 销毁
void Destroy(SeqList *L)
{
    free(L->elem);
    L->elem = NULL;
    L->len = 0;
    L->cap = 0;
}
2.2.3 练习题

接口:

#include 
#include 

#define MAXSIZE 100
#define OK 1
#define ERROR 0

typedef int ElemType;
typedef int Status;
typedef struct {
    ElemType *elem;
    int cap;
    int len;
} SeqList;


Status InitList(SeqList *L);
void Destroy(SeqList *L);
Status Empty(SeqList *L);
int Length(SeqList *L);
int LocateElem(SeqList *L, ElemType e);
Status GetElem(SeqList *L, int i, ElemType *e);
Status Insert(SeqList *L, int index, ElemType e);
Status Delete(SeqList *L, int index, ElemType *e);
Status PrintList(SeqList* L);


int main(int argc, char* argv[])
{
    SeqList L;
    ElemType e = 0;
    
    InitList(&L);

    printf("Just Init!\n");
    if (Empty(&L) == OK)
        printf("Empty\n");
    else
        printf("Not Empty\n");
    
    printf("len of list is %d\n", Length(&L));

    Insert(&L, 1, 5);
    Insert(&L, 2, 7);
    Insert(&L, 3, 11);
    Insert(&L, 4, 13);
    Insert(&L, 5, 17);

    printf("the index of 13 is %d\n", LocateElem(&L, 13));
    PrintList(&L);

    Delete(&L, 3, &e);

    if (Empty(&L) == OK)
        printf("Empty\n");
    else
        printf("Not Empty\n");
    
    printf("len of list is %d\n", Length(&L));

    Destroy(&L);

    return 0;
}




Status InitList(SeqList *L)
{
    L->elem = (ElemType*)malloc(sizeof(ElemType) * MAXSIZE);
    if (L->elem == NULL)
    {
        printf("Out of memory!\n");
        return ERROR;
    }

    L->cap = MAXSIZE;
    L->len = 0;
    return OK;
}

void Destroy(SeqList *L)
{
    free(L->elem);
    L->elem = NULL;
    L->len = 0;
    L->cap = 0;
}

Status Empty(SeqList *L)
{
    if (L->len == 0)
        return OK;
    else
        return ERROR;
}

int Length(SeqList *L)
{
    return L->len;
}

int LocateElem(SeqList *L, ElemType e)
{
    for (int k = 0; k < L->len; k++)
    {
        if (L->elem[k] == e)
        {
            return k + 1;
        }
    }
    return -1;
}

Status GetElem(SeqList *L, int i, ElemType *e)
{
    if (i < 1 || i > L->len)
    {
        printf("Invalid index !\n");
        return ERROR;
    }

    if (L->len == 0)
    {
        printf("Empty List !\n");
        return ERROR;
    }

    *e = L->elem[i - 1];
    return OK;
}

Status Insert(SeqList *L, int index, ElemType e)
{
    if (index < 1 || index > L->len + 1)
    {
        printf("Invalid index !\n");
        return ERROR;
    }

    if (L->len == L->cap)
    {
        L->elem = (ElemType*)realloc(L->elem, 2 * L->cap);
        if (L->elem == NULL)
        {
            printf("Out of memory !\n");
            return ERROR;
        }
    }

    for (int k = L->len; k >= index; k--)
    {
        L->elem[k+1] = L->elem[k];
    }

    L->elem[index-1] = e;
    L->len++;
    printf("the %dth inserted elem is %d\n", index, e);

    return OK;
}

Status Delete(SeqList *L, int index, ElemType *e)
{
    if(L->len == 0)
    {
        printf("Empty List !\n");
        return ERROR;
    }

    if(index < 1 || index > L->len)
    {
        printf("Invalid index !\n");
        return ERROR;
    }

    *e = L->elem[index - 1];

    if(index < L->len)
    {
        for(int k = index; k < L->len; k++)
        {
            L->elem[k-1] = L->elem[k];
        }
    }

    L->len--;

    printf("the %dth deleted elem is %d\n", index, *e);
    return OK;
}

Status PrintList(SeqList* L)
{
    if (L->len == 0)
    {
        printf("Empty List !\n");
        return ERROR;
    }

    for (int i = 0; i < L->len; i++)
    {
        printf("the %d th element is %d\n", i+1, L->elem[i]);
    }

    return OK;
}
1. 删除最小元素
/*
 * 从顺序表中删除具有最小值的元素(假设唯一)并由函数返回背包删除元素的值,
 * 空出的位置由最后一个元素填补,若顺序表为空则显示出错信息并退出运行
*/
void DeleteMin(SqList *L, ElemType *e)
{
    if (L->len == 0)
    {
        printf("Empty List, can not delete any element !\n");
        return ERROR;
    }

    int minIndex = 0;
    for (int i = 1; i < L->len; i++)
    {
        if (L->elem[i] < L->elem[i-1])
        {
            minIndex = i;
        }
    }

    *e = L->elem[minIndex];
    if (minIndex != L->len - 1)
    {
        L->elem[minIndex] = L->elem[L->len-1];
        L->elem[L->len-1] = 0;
    }
    L->len--;
    return;
}

2.3 线性表之链式表示

顺序表的优点

可以随时存取表中的任意一个元素,存储位置可以用简单 、直观的公式表示

顺序表的缺点 插入和删除操作需要移动大量元素
链表
链表的特点

不需要使用地址连续的存储单元,

即,不要求逻辑上相邻的元素在物理位置上也相邻,

通过 "链" 来建立起数据元素之间的逻辑关系

链表的优点 插入和删除操作不需要移动元素,只需修改指针
链表的缺点 无法像顺序表那样随机存取元素
2.3.1 单链表的定义
单链表的定义
概念

线性表的链式存储又称单链表;

通过一组任意的存储单元来存储线性表中的数据元素;

为了建立数据元素之间的线性关系,对每个链表结点,除存放元素自身的信息外,

还需要存放一个指向其后继的指针;

结点

单链表结点结构如图所示,其中 data 为数据域,存放数据元素;

next 为指针域,存放其后继结点的地址

数据结构 - 第 2 章 线性表_第3张图片

单链表中结点

类型的描述

typedef struct LNode {           // 定义单链表结点类型

        ElemType data;           // 数据域

        struct LNode *next;      // 指针域

} LNode, *LinkList;

小结

(i).  利用单链表可以解决顺序表需要大量连续存储单元的缺点;然而单链表附加指针域,存在浪费存储空间的缺点

(ii). 单链表的元素离散地分布在存储空间中,故单链表无法随机存取,即不能直接找到表中某个特定的结点

(iii). 如果想查找某个特定的结点,则必须从表头开始遍历,依次查找

技巧

(i). 通常用头指针来标识一个单链表,如单链表 L ,头指针为 NULL 时,表示一个空表

(ii). 为了操作上的方便,在单链表第一个结点之前附加一个结点,称为 "头结点"

(iii). 头结点的数据域可以没有信息,也可以记录表长;头结点的指针域指向线性表的第一个元素结点

数据结构 - 第 2 章 线性表_第4张图片

头结点与

头指针

不管带不带头结点,头指针时钟指向链表的第一个结点;

头结点是带头结点的链表的第一个结点,头结点内通常不存储信息

引入头结点

的优势

(1). 由于第一个数据结点的位置被存放在头结点的指针域中,所以在链表的第一个位置上的操作和在表中其他位置上的操作一致,无需进行特殊处理

(2). 无论链表是否为空,其头指针都指向头结点的非空指针(空表中头结点的指针域为空),因此空表和非空表的处理得到统一

2.3.2 单链表的接口
#include 
#include 

typedef int ElemType;

struct Node;
typedef struct Node *PtrToNode;
typedef PtrToNode List;
typedef PtrToNode Position;

struct Node
{
    ElemType Elem;
    Position Next;
};


List MakeEmpty(List L);
int IsEmpty(List L);
int IsLast(Position P);
Position FindPrevious(List L, ElemType E);
Position Find(List L, ElemType E);
void HeadInsert(Position Head, ElemType E);
Position TailInsert(Position Tail, ElemType E);
void Delete(List L, ElemType E);
void DeleteList(List L);
Position Header(List L);
Position First(List L);
Position Advance(Position P);
ElemType Retrieve(Position P);
void PrintList(List L);
void PrintEmpty(List L);



int main(int argc, char* argv[])
{
    List Lh, Lt;
    Position Head, Tail;

    Lh = Lt = Head = Tail = NULL;

    Lh = MakeEmpty(Lh);
    Lt = MakeEmpty(Lt);
    Head = Lh->Next;
    Tail = Lt->Next;

    for (int i = 1; i <= 5; i++)
    {
        HeadInsert(Head, i*i+3);   // 4 7 12 19 28
        Tail = TailInsert(Tail, i*i+3);
    }
    
    printf("\n");
    printf("HeadInsert : \n");
    PrintList(Lh);
    printf("\n");
    printf("TailInsert : \n");
    PrintList(Lt);
    printf("\n");

    DeleteList(Lh);
    DeleteList(Lt);
    return 0;
}

List MakeEmpty(List L)
{
    L = (List)malloc(sizeof(struct Node));
    if (!L)
        return NULL;

    Position header = (Position)malloc(sizeof(struct Node));
    if (!header)
        return NULL;

    header->Next = NULL;
    L->Next = header;
    return L;
}


int IsEmpty(List L)
{
    return L->Next == NULL;
}


int IsLast(Position P)
{
    return P->Next == NULL;
}


Position FindPrevious(List L, ElemType E)
{
    Position P;

    P = L;
    while (P->Next != NULL && P->Next->Elem != E)
        P = P->Next;
    
    return P;
}


Position Find(List L, ElemType E)
{
    Position P;

    P = L->Next;
    while (P != NULL && P->Elem != E)
        P = P->Next;
    
    return P;
}


void HeadInsert(Position Head, ElemType E)
{
    Position NewCell;

    NewCell = (Position)malloc(sizeof(struct Node));
    if (NewCell == NULL)
    {
        printf("Out of memory!\n");
        exit(0);
    }

    NewCell->Elem = E;
    NewCell->Next = Head->Next;
    Head->Next = NewCell;
}

Position TailInsert(Position Tail, ElemType E)
{
    Position NewCell;

    NewCell = (Position)malloc(sizeof(struct Node));
    if (NewCell == NULL)
    {
        printf("Out of memory!\n");
        exit(0);
    }

    NewCell->Elem = E;
    NewCell->Next = NULL;
    Tail->Next = NewCell;

    return NewCell;
}


void Delete(List L, ElemType E)
{
    Position P, TmpCell;

    P = FindPrevious(L, E);

    if (!IsLast(P))
    {
        TmpCell = P->Next;
        P->Next = TmpCell->Next;
        free(TmpCell);
    }
}


void DeleteList(List L)
{
    Position P, TmpCell;

    P = L->Next;
    L->Next = NULL;

    while (P != NULL)
    {
        TmpCell = P->Next;
        free(P);
        P = TmpCell;
    }
}


Position Header(List L)
{
    return L;
}


Position First(List L)
{
    return L->Next;
}


Position Advance(Position P)
{
    return P->Next;
}


ElemType Retrieve(Position P)
{
    return P->Elem;
}

void PrintList(List L)
{
    Position Head, Cur;
    int count = 1;
    Head = L->Next;

    Cur = Advance(Head);

    while (Cur != NULL)
    {
        printf("%dth elem is %d\n", count, Retrieve(Cur));
        count++;
        Cur = Advance(Cur);
    }
}

void PrintEmpty(List L)
{
    if (IsEmpty(L) != 0)
        printf("Empty\n");
    else
        printf("Not Empty\n");
}

2.3.3 双链表 
双链表的定义
单链表的局限性 单链表结点中只有一个指向其后继的指针,使得单链表只能从头结点依次顺序向后遍历要访问某个结点的前驱结点(插入 、删除操作时),只能从头开始遍历,访问后继结点的时间复杂度为 O(1) ,访问前驱结点的时间复杂度为 O(n)
引入双向链表 为了克服单链表的上述缺点,引入了双链表,双链表结点中有两个指针 prior 和 next ,分别指向当前结点的前驱结点和后继结点
数据结构 - 第 2 章 线性表_第5张图片
双链表中结点类型的描述

typedef struct DNode {                      // 定义双链表结点类型

        ElemType data;                      // 数据域

        struct DNode *prior,*next;    // 前驱和后继指针

} DNode,*DLinkList;

注意

双链表在单链表的结点中增加了一个指向当前结点的前驱的 prior 指针,因此双链表中的按值查找和按序号查找的操作,与单链表的相同;但双链表在插入和删除操作的实现上,与单链表有着较大的不同,这是因为 "链" 变化时也需要对 prior 指针做出修改,其关键是保证在修改的过程中不断链;

此外,双链表可以很方便地找到其前驱结点,因此,插入 、删除操作的时间复杂度仅为 O(1)

##################################################################################
双链表的插入操作
在双链表中 p 所指的结点之后插入结点 *s ,其指针变化过程如下图
数据结构 - 第 2 章 线性表_第6张图片

上图中,是在当前结点的前面,插入新结点;当然也可以在当前结点的后面,插入新结点;

这里,插入操作是有顺序的;

假如 4 个操作,2 个操作是一对,每对操作中,都是由新结点发起连接

前插中,第一步操作完成,新结点和当前结点的前驱建立连接;

后插中,第一步操作完成,新结点和当前结点的后继建立连接;

前插

规则:新结点,先与当前结点的前驱结点建立连接,再和当前结点建立连接

(i).

s->prior = p->prior;  // 新结点先开始,新结点的前驱指针指向当前结点的前驱结点

p->prior->next = s;  // 当前结点的前驱结点的后继指针指向新结点

(ii). 

s->next = p;  // 新结点先开始,新结点的后继指针指向当前结点

p->prior = s;  // 当前结点的前驱指针指向新结点

后插

规则:新结点,先与当前结点的后继结点建立连接,再和当前结点建立连接

(i). 

s->next = p->next;  // 新结点先开始,新结点的后继指针指向当前结点的后继结点 

p->next->prior = s;  // 当前结点的后继结点的前驱指针指向新结点

(ii). 

s->prior = p;  // 新结点先开始,新结点的前驱指针指向当前结点

p->next = s;  // 当前结点的后继指针指向新结点

总结

第一点:无论是在前插还是后插中,新结点与当前结点建立连接都是在第二步中

第二点:无论是在第一步中还是第二步中,连接都是由新结点发起

总结:违反第一点,就会断链,指针丢失导致插入失败

(新结点先与当前结点建立连接,则无法通过当前结点找到其前驱或后继了,因为此时当前结点的前驱或后继指针已经指向了新结点)

##################################################################################
双链表的删除操作
删除双链表中当前结点 *p 的后继(前驱)结点 *q ,其指针的变化过程如下
数据结构 - 第 2 章 线性表_第7张图片
删除当前结点

c->prior->next = c->next;

c->next->prior = c->prior;

free(c);

删除当前结点前驱

tmp = c->prior;

tmp->prior->next = c;

c->prior = tmp->prior;

free(tmp);

删除当前结点后继

tmp = c->next;

tmp->next->prior = c;

c->next = tmp->next;

free(tmp);

#include 
#include 

typedef int ElemType;

struct Node;
typedef struct Node *PtrToNode;
typedef PtrToNode List;
typedef PtrToNode Position;

struct Node
{
    ElemType Elem;
    Position Prior, Next;
};


List MakeEmpty(List L);
int IsEmpty(List L);
int IsLast(Position P);
Position FindPrevious(List L, ElemType E);
Position Find(List L, ElemType E);
void HeadInsert(Position Head, ElemType E);
void TailInsert(List L, ElemType E);
void DeleteElem(List L, ElemType E);
void DeletePos(List L, Position Pos);
void DeleteList(List L);
Position Header(List L);
Position First(List L);
Position Advance(Position P);
ElemType Retrieve(Position P);
void PrintList(List L);
void PrintEmpty(List L);



int main(int argc, char* argv[])
{
    List L;
    Position Cur, Pre, H;

    L = MakeEmpty(L);
    PrintList(L);

    H = L->Next;

    HeadInsert(L, 2);
    printf("L insert elem 2\n");
    HeadInsert(L, 3);
    printf("L insert elem 3\n");
    HeadInsert(L, 5);
    printf("L insert elem 5\n");
    HeadInsert(L, 7);
    printf("L insert elem 7\n");
    HeadInsert(L, 11);
    printf("L insert elem 11\n");
    HeadInsert(L, 13);
    printf("L insert elem 13\n");

    printf("\n\n");
    printf("Head Insert !!!\n");
    PrintList(L);
    printf("\n\n");
    //printf("Del Elem = 7\n");
    //DeleteElem(L, 7);
    printf("Find Elem 11 and 5\n\n");
    Pre = FindPrevious(L, 11);
    printf("Pre's Next Elem is %d\n", Pre->Next->Elem);
    Cur = Find(L, 5);
    printf("Cur's Elem is %d\n", Cur->Elem);

    printf("Del Elem = 7\n");
    DeleteElem(L, 7);
    printf("Current L is like below:\n");
    PrintList(L);
    printf("\n\n");
    DeletePos(L, L->Next);
    PrintList(L);
    printf("Del First Node and Current L is like below\n");
    DeletePos(L, L->Next);
    PrintList(L);
    printf("Del First Node and Current L is like below\n");
    DeletePos(L, L->Next);
    PrintList(L);


    DeleteList(L);
    printf("\n\n Current L is like below:\n");
    PrintList(L);
    
    return 0;
}

List MakeEmpty(List L)
{
    L = (List)malloc(sizeof(struct Node));
    if (!L)
        return NULL;

    Position header = (Position)malloc(sizeof(struct Node));
    if (!header)
        return NULL;

    header->Next = NULL;
    header->Prior = L;
    L->Next = header;
    L->Prior = NULL;
    return L;
}


int IsEmpty(List L)
{
    return L->Next->Next == NULL;
}


int IsLast(Position P)
{
    return P->Next == NULL;
}


Position FindPrevious(List L, ElemType E)
{
    Position P;

    P = L;
    while (P->Next != NULL && P->Next->Elem != E)
        P = P->Next;
    
    return P;
}


Position Find(List L, ElemType E)
{
    Position P;

    P = L->Next;
    while (P != NULL && P->Elem != E)
        P = P->Next;
    
    return P;
}


void HeadInsert(Position Head, ElemType E)
{
    Position NewCell;

    NewCell = (Position)malloc(sizeof(struct Node));
    if (NewCell == NULL)
    {
        printf("Out of memory!\n");
        exit(0);
    }

    NewCell->Elem = E;
    NewCell->Next = Head->Next;
    Head->Next->Prior = NewCell;
    NewCell->Prior = Head;
    Head->Next = NewCell;
}

void TailInsert(List L, ElemType E)
{
    Position NewCell, Tail;
    Tail = L->Next;

    while (Tail->Next != NULL)
        Tail = Tail->Next;

    NewCell = (Position)malloc(sizeof(struct Node));
    if (NewCell == NULL)
    {
        printf("Out of memory!\n");
        exit(0);
    }

    NewCell->Elem = E;
    NewCell->Next = Tail->Next;
    Tail->Next->Prior = NewCell;
    NewCell->Prior = Tail;
    Tail->Next = NewCell;
}


void DeleteElem(List L, ElemType E)
{
    Position Pre, Cur;

    Pre = FindPrevious(L, E);

    if (!IsLast(Pre))
    {
        Cur = Pre->Next;
        Pre->Next = Cur->Next;
        Cur->Next->Prior = Pre;
        free(Cur);
    }
}

void DeletePos(List L, Position Pos)
{
    Position Pre, Cur;

    Pre = FindPrevious(L, Pos->Elem);

    if (!IsLast(Pre))
    {
        Cur = Pre->Next;
        Pre->Next = Cur->Next;
        Cur->Next->Prior = Pre;
        free(Cur);
    }
}


void DeleteList(List L)
{
    Position P, TmpCell;

    P = L->Next;
    L->Next = NULL;

    while (P != NULL)
    {
        TmpCell = P->Next;
        free(P);
        P = TmpCell;
    }
}


Position Header(List L)
{
    return L;
}


Position First(List L)
{
    return L->Next;
}


Position Advance(Position P)
{
    return P->Next;
}


ElemType Retrieve(Position P)
{
    return P->Elem;
}

void PrintList(List L)
{
    Position Cur;
    int count = 1;
    Cur = L->Next;

    if (Cur->Next == NULL)
    {
        printf("Empty List!\n");
        return;
    }

    while (Cur->Next != NULL)
    {
        printf("%dth elem is %d\n", count, Retrieve(Cur));
        count++;
        Cur = Cur->Next;
    }
}

void PrintEmpty(List L)
{
    if (IsEmpty(L) != 0)
        printf("Empty\n");
    else
        printf("Not Empty\n");
}

2.3.4 循环链表
循环单链表
定义

循环单链表和单链表的区别在于:

循环单链表中最后一个结点的 next 指针不是 NULL,改为指向头结点

从而整个链表形成一个环

数据结构 - 第 2 章 线性表_第8张图片
说明

在循环单链表中,表尾结点 *r 的 next 域指向头结点

故表中没有指针域为 NULL 的结点

判空条件

循环单链表的判空条件不是头结点的 next 指针是否为 NULL ,

而是头结点的 next 指针是否等于头指针

插入 、删除

循环单链表的插入 、删除操作与单链表的几乎一样,不同的地方在于,

若是在表尾插入 、删除,最后的表尾结点的 next 还得指向头结点

来保持循环的性质

由于循环单链表是一个 "环",因此在任何一个位置上的插入和删除都等价,

无须判断是否是表尾

遍历

(i). 在单链表中只能从表头结点开始往后顺序遍历整个链表,

而循环单链表可以从表中的任意一个结点开始遍历整个链表;

(ii). 有时对单链表常做的操作是在表头和表尾进行的,

此时对于循环单链表不设头指针,而仅设尾指针,从而使得操作效率更高

(iii). 若设的是头指针,对表尾进行操作需要 O(n) 的时间复杂度,注意,循环单链表,只能往后遍历,虽表尾结点近在咫尺,却无法向前;

若设尾指针 r ,r->next 即为头结点,对于表头与表尾进行操作都只需要

O(1) 的时间复杂度

##################################################################################
循环双链表
定义 在循环双链表中,头结点的 prior 指针还要指向表尾结点
数据结构 - 第 2 章 线性表_第9张图片

在循环双链表 L 中,某结点 *p 为尾结点时,p->next 指向头结点;

当循环双链表为空表时,其头结点的 prior 和 next 都等于 L

2.3.5 静态链表
静态链表
定义

静态链表借助数组来描述线性表的链式存储结构,

结点也有数据域 data 和指针域 next ,

不同于前面所讲的链表,

这里的指针保存的是结点的相对地址(数组下标),也称游标

和顺序表一样,静态链表也要预先分配一块连续的存储空间
静态链表和单链表的对应关系
数据结构 - 第 2 章 线性表_第10张图片
静态链表结构类型的描述

#define MaxSize 50        // 静态链表的最大长度

typedef struct {                // 静态链表结点类型的定义

        ElemType data;    // 存储数据元素

        int next;                // 下一个元素的数组下标

} SLinkList[MaxSize];

总结

静态链表以 next == -1 作为其结束的标志

静态链表的插入 、删除操作与动态链表相同,

只需要修改指针,而不需要移动元素

2.3.6 顺序表和链表的比较
比较\类型 顺序表 链表
存取方式

可以顺序存取,

也可以随机存取

只能从表头顺序存取元素

逻辑结构与

物理结构

顺序存储,逻辑上相邻的元素,

对应的物理存储位置也相邻

链式存储,逻辑上相邻的元素,

物理存储位置不一定相邻,

对应的逻辑关系是通过指针链接表示

按值查找

顺序表无序时,

时间复杂度为 O(n)

顺序查找,时间复杂度为 O(n)

顺序表有序时,采用折半查找,

时间复杂度为 O(\log_2{n})

顺序查找,时间复杂度为 O(n)
按序号查找

顺序表支持随机访问,

时间复杂度为 O(1)

链表依旧只能从头开始顺序查找,

时间复杂度为 O(n)

插入与删除 平均需要移动半个表长的元素 只需修改相关结点的指针域即可
每个结点都带有指针域,故存储密度不大
空间分配

静态分配:

(i). 一旦存储空间装满就不能扩充,若再假如新元素,则内存溢出,因此需要预先分配足够大的存储空间

(ii). 预先分配过大,可能会导致顺序表后半部分空间大量闲置

(iii). 预先分配过小,会造成溢出

链式存储的结点空间只在需要时申请分配,只要内存有空间就可以分配,操作灵活 、高效

动态分配:

(i). 当存储空间不够时,可以扩充存储空间

(ii). 扩充存储空间需要移动大量元素,导致操作效率低下

(iii). 若内存中没有更大块的连续存储空间,

则会导致分配失败

如何选取存储结构
基于存储考虑

难以估计线性表的长度或存储规模时,不宜采用顺序表;

链表不用事先估计存储规模,但链表的存储密度较低,

显然链式存储结构的存储密度是小于 1 的

基于运算考虑

在顺序表中按序号访问 a_i 的时间复杂度为 O(1) ;

而链表中按序号访问的时间复杂度为 O(n) ;

若常用的运算是按序号访问数据元素,则顺序表优于链表

在顺序表中进行插入 、删除操作时,平均移动表中一半的元素,

当数据元素的信息量较大且表较长时,必须考虑顺序表移动元素的特性;

在链表中进行插入 、删除操作时,虽然也要找插入位置,但操作主要是

比较操作;

若常用的运算是插入以及删除结点,则链表优于顺序表

基于环境考虑

顺序表容易实现,任何高级语言中都有数组类型;

链表的操作是基于指针;

相对而言,顺序表相较于链表,实现起来更简单

小结

两种存储结构各有长短,选择哪一种需要由实际问题的主要因素来决定;

通常较稳定的线性表选择顺序存储;

频繁进行插入 、删除操作的线性表(动态性较强)则应选择链式存储

注意 只有熟练掌握顺序存储和链式存储,才能深刻理解它们各自的优缺点

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