【Coding】寒假每日一题Day.5. 互质数的个数

题目来源

题目来自于AcWing平台：https://www.acwing.com/problem/content/4971/
以blog的形式记录程序设计算法学习的过程，仅做学习记录之用。

题目描述

输入输出格式与数据范围

样例

第一组：

2 5

16

第二组：

12 7

11943936

思路

思路一部分参考自闫总的视频讲解，一部分参考自题解：https://www.acwing.com/solution/content/191150/。
这道题是标准的模板题。求$1$～$N$中与$N$互质的数的个数称作欧拉函数，记为$\varphi (N)$。在算数基本定理中，可以将$N$拆解为：$N=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\cdot \cdot \cdot p_m^{a_m}$，则：
$\varphi (N)=N\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}...\times \frac{p_m-1}{p_m}$。

可以发现，欧拉函数与质因数有关，而$a^b$的质因数与$a$完全相同，因此只需要求$a$的质因数即可。

因此，套用求互质数个数的模板，求出$a$的互质数的个数即可，再使用快速幂对这一结果乘上$a^{b-1}$，即可得到最终的答案。在进程乘法运算的过程中，不要忘记求模。

Code

代码同样参考自闫总的代码：https://www.acwing.com/activity/content/code/content/7589016/。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MOD = 998244353;

LL qmi(LL a, LL b){ // 快速幂算法的模板
    LL res = 1;
    while(b){
        if(b & 1)   res = res * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    LL a, b;
    cin >> a >> b;

    if(a == 1){
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }

    // 求质因数的个数的模板
    LL res = a, x = a;
    for(int i = 2; i * i <= x; i ++ ){
        if(x % i == 0){
            while(x % i == 0)   x /= i;
            res = res / i * (i - 1);
        }
    }
    if(x > 1)   res = res / x * (x - 1);

    cout << res * qmi(a, b - 1) % MOD << endl;
    return 0;
}