HDU 1567 扩展欧几里得，取模运算性质，小费马定理

欧几里得算法求gcd(a,b)

#include
#include
#include
#define MAXN_ROW 100
#define MAXN_COL 100
using namespace std;
int gcd(int a, int b)                                  //原理 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)   
{                                                      //a,b大小不用考虑 如果a
	return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);                 //递归写法
}
int gcd1(int a, int b)                                 //原理同上
{                                                      //大小也不用考虑
	while (b)                                          //非递归写法
	{
		int t;
		t = a;
		a = b;
		b = t % a;
	}
	return a;
}
int t;
int main()
{
	int a, b;
	while (scanf("%d%d", &a, &b) != EOF)
	{
		printf("%d\n", gcd1(a, b));
	}
	return 0;
}

贝祖定理

扩展欧几里得定理求解ax+by=gcd(a,b)

#include
#include
#include
#define MAXN_ROW 100
#define MAXN_COL 100
using namespace std;
int gcd(int a, int b)                                  //原理 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)   
{                                                      //a,b大小不用考虑 如果a
	return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);                 //递归写法
}
int gcd1(int a, int b)                                 //原理同上
{                                                      //大小也不用考虑
	while (b)                                          //非递归写法
	{
		int t;
		t = a;
		a = b;
		b = t % a;
	}
	return a;
}
int exgcd1(int a, int b, int& x, int& y)    //不用考虑a,b大小关系，求解方程ax+by=gcd(a,b)
{                                           //如果求解的是方程ax+by=k*gcd(a,b),则b=0时退出的时候应该x=k
	if (!b)                                 //引用写法
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int ans = exgcd1(b, a % b, x, y);      //执行完后x=x',y=y'  需要x=y' y=x'-[a/b]y'
	int temp = x;
	x = y;
	y = temp - a / b * y;
	return ans;
}
int exgcd2(int a, int b, int& x, int& y)    //不用考虑a,b大小关系，求解方程ax+by=gcd(a,b)
{                                           //如果求解的是方程ax+by=k*gcd(a,b),则b=0时退出的时候应该x=k
	if (!b)                                 //引用写法
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int ans = exgcd2(b, a % b, y, x);      //执行完后x=y',y=x'  需要x=y' y=x'-[a/b]y'
	y -= a / b * x;                        //这部分比exgcd1来的简洁
	return ans;
}
int exgcd3(int a, int b, int* x, int* y)    //不用考虑a,b大小关系，求解方程ax+by=gcd(a,b)
{                                           //如果求解的是方程ax+by=k*gcd(a,b),则b=0时退出的时候应该x=k
	if (!b)                                 //指针写法
	{
		*x = 1;
		*y = 0;
		return a;
	}
	int ans = exgcd3(b, a % b, y, x);      //执行完后x=y',y=x'  需要x=y' y=x'-[a/b]y'
	*y -= a / b * (*x);                        //这部分比exgcd1来的简洁
	return ans;
}
int exgcd4(int a, int b, int& x, int& y)    //非递归扩展欧几里得算法
{                                           //实质上是运用了欧几里得原理，用矩阵的形式将a,b的变换过程写出来，由欧几里得原理
	                                        //最后一定a=gcd(a,b) b=0,而前面的变换过程就对应了一个个方程，最后的方程就是要求的ax+by=gcd(a,b)的解
    x = 1, y = 0;                           //      x    y    a      -> m           n            b
	int m = 0, n = 1;                       //      m    n    b      -> x-a/b*m     y-a/b*n      a%b
	int t;
	while (b)
	{
		t = x; x = m; m = t - a / b * m;
		t = y; y = n; n = t - a / b * n;
		t = a; a = b; b = t % b;
		//printf("此时矩阵为\n");
		//printf("%d %d %d\n", x, y, a);
		//printf("%d %d %d\n", m, n, b);
	}
	return a;
}
int t;
int main()
{
	int a, b;
	while (scanf("%d%d", &a, &b) != EOF)
	{
		int x = 0;
		int y = 0;
		printf("%d\n", exgcd4(a, b,x,y));
		printf("x=%d,y=%d\n", x, y);
	}
}

图源：https://www.cnblogs.com/zbhfz/p/11267438.html

（通解）？

求逆元

1.根据定义 （A/B) mod m= (AK)mod m K是B的逆元
BK = 1 mod m
用费马小定理求逆元 a^(p-1)=1 mod p ，(a,p互质,p是素数)
a^(p-2)a=1mod p
所以a在mod p下的逆元是a^(p-2)
所以B在mod p下的逆元是B^(p-2)
在用mod运算性质(ab)mod p=((a mod p)(b mod p))mod p即可
2.用扩展欧几里得求逆元
求模运算中a的逆元，即解方程ax=1(mod n) 就是ax%n=1 不妨设ax/n=y,所以ax=1(mod n) 等价于方程ax=ny+1---->ax-ny=1 即解这个方程的x解，由贝祖定理 ax+by=n 如果有整数解 那么其中n一定是gcd(a,b)的倍数，所以ax-ny=1方程中,要有解，gcd(a,n)=1(把-y当成y)，所以a和n一定互质，这也是用扩展欧几里得定理，在a,n互质的条件下， 所以ax-ny=gcd(a,n)符合上述用扩展欧几里得算法求x,y的特征 我只要知道x就可以，基本上和上述代码一样。注意用扩展欧几里得求逆元求出来的x有可能是负数所以还要有x=(x%n+n)%n
3.欧拉定理求逆元？
4.O(n)求1~n逆元表？

取模运算性质：

图源其他博主