智能机器人与旋量代数(10)

3.2 旋量

3.2.1 直线几何与Plucker坐标
  1. 点的齐次坐标:

在笛卡尔坐标系中,空间中点 P P P的坐标为 ( X , Y , Z ) (X, Y, Z) (X,Y,Z).

X = x w , Y = y w , Z = z w X=\frac{x}{w}, Y=\frac{y}{w}, Z=\frac{z}{w} X=wx,Y=wy,Z=wz
我们可以发现空间上每一点 P P P就可以用4个数 x , y , z , w x,y,z,w x,y,z,w表示了,这种形式就称为点的齐次坐标。

在三维射影空间 P 3 P^3 P3中,点的齐次坐标一般表示为 ( x , y , z , w ) (x,y,z,w) (x,y,z,w)或者 ( x ; x 0 ) , x ∈ R 3 , x 0 ∈ R (x;x_0), x\in R^3, x_0\in R (x;x0),xR3,x0R,或者写成相对值的形式 ( x w , y w , z w , 1 ) (\frac{x}{w}, \frac{y}{w}, \frac{z}{w}, 1) (wx,wy,wz,1) ( X , Y , Z , 1 ) (X, Y, Z, 1) (X,Y,Z,1).

  1. 平面的齐次坐标:

在三维射影空间 P 3 P^3 P3中,平面的线性齐次方程形式为:
t x + u y + v z + s w = 0 tx+uy+vz+sw=0 tx+uy+vz+sw=0
其中, ( x , y , z , w ) (x,y,z,w) (x,y,z,w)表示平面内一点的齐次坐标;而 ( t , u , v , s ) (t,u,v,s) (t,u,v,s)表示平面的齐次坐标,其中 ( t , u , v ) (t,u,v) (t,u,v)表示平面的法向量。因此,平面的齐次坐标可以表示为 ( t , u , v , s ) (t,u,v,s) (t,u,v,s)或者 ( u ; u 0 ) , u ∈ R 3 , u 0 ∈ R 3 (u;u_0), u\in R^3, u_0\in R^3 (u;u0),uR3,u0R3

由此,我们发现在三维射影空间 P 3 P^3 P3中,点和平面的表示形式完全一样,这构成了射影几何中对偶原理的基础。

  1. 直线的齐次坐标:

在三维射影空间 P 3 P^3 P3中表示直线有两种方法:一种税两点连线(对应两点进行“并”运算);另一种是两个平面的交线(对应两平面进行“交”运算),它们相互对偶。
L = X ∪ Y : = ( x 0 y − y 0 x ; x × y ) = ( l ; l 0 ) ∈ R 6 L=X\cup Y := (x_0y-y_0x;x\times y)=(l;l_0)\in R^6 L=XY:=(x0yy0x;x×y)=(l;l0)R6

L = U ∩ V : = ( u × v ; u 0 v − v 0 u ) = ( l 0 ; l ) ∈ R 6 L=U\cap V:= (u\times v; u_0v-v_0u)=(l_0;l)\in R^6 L=UV:=(u×v;u0vv0u)=(l0;l)R6
为此,Plucker(1865) 定义了直线的两种坐标:射线坐标与轴线坐标。

(1). 射线坐标:两点连接而成的直线坐标,其Plucker坐标为 ( L , M , N ; P , Q , R ) (L,M,N;P,Q,R) (L,M,N;P,Q,R).

(2). 轴线坐标:两平面相交而成的直线坐标,其Plucker坐标为 ( P , Q , R ; L , M , N ) (P,Q,R;L,M,N) (P,Q,R;L,M,N).

这些参数可由齐次坐标的行列式给出,请参见丁希仑教授教材与戴建生院士教材,这边懒得打字了。

定义3.1 如果空间一个向量被约束在一条空间位置确定的直线上,则这个被直线约束的向量称为线矢量(line vector).

接下来研究线矢量的运算。

定义3.2 线矢量的代数和:如果 S 1 , S 2 S_1,S_2 S1,S2共面,那么 S ∑ = S 1 + S 2 S_{\sum}=S_1+S_2 S=S1+S2仍为线矢量,满足平行四边形法则。

定义3.3 线矢量平行:若 S 1 , S 2 S_1,S_2 S1,S2平行,则 S ∑ = S 1 + S 2 S_{\sum}=S_1+S_2 S=S1+S2仍为线矢量,且与 S 1 , S 2 S_1,S_2 S1,S2平行。

定义3.4互易积(reciprocal product)
S 1 ⋅ S 2 = s 1 s 0 2 + s 2 s 0 1 = L 1 P 2 + M 1 Q 2 + N 1 R 2 + L 2 P 1 + M 2 Q 1 + N 2 R ! S_1 · S_2 =s_1s_0^2+s_2s_0^1=L_1P_2+M_1Q_2+N_1R_2+L_2P_1+M_2Q_1+N_2R_! S1S2=s1s02+s2s01=L1P2+M1Q2+N1R2+L2P1+M2Q1+N2R!

可得推论:

a.两线矢量共面当且仅当互易积为0.

b.任意线矢量对自身的互易积为0.

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