一道嗖嘎的证明题

设$f(x)$在区间[0,1]上连续可微，满足$0<f^{\prime }(x)\le 1$,任给$x\in [0,1]$且$f(0)=0$，试证：
$${\int }_0^1{\left(f\left(x\right)\right)}^3\mathrm{d}x\le {\left({\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x\right)}^2$$
证明：

由$0<f^{\prime }(x)\le 1$知：
$$0<\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }({\xi }_1)\le 1$$
因此：
$$0<f(x)\le x$$
那么
$$2f(t)\cdot f^{\prime }(t)\le 2f(t)$$
又
$$\frac{f^2(x)-2{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t}{x}=2f(x)f^{\prime }({\xi }_2)-2f({\xi }_2)\le 0$$
于是有
$$f^2(x)\le 2{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$$
易得
$$f^3(x)\le 2f(x){\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$$
由于
$$\frac{{\int }_0^x{f}^3(t)\mathrm{d}t-{\left[{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t\right]}^2}{x}=f^{3}f({\xi }_3)-2f({\xi }_3){\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t\le 0$$
故
$${\int }_0^x{f}^3(t)\mathrm{d}t\le {\left[{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t\right]}^2,\forall x\in [0,1]$$
当我们取$x=1$时，题目得证。