数值积分与微分

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数值积分的思想为利用几个点的函数值和求积系数来线性组合，从而近似积分，进一步和插值联系起来，再进行等距插值，得到牛顿科特斯公式，其中提到了代数精度，收敛性，稳定性的概念，偶数阶求积公式代数精度会高一点。
进一步牛顿科特斯公式在高阶时有不稳定性，所以引入复合求积，在实际计算中可以将分点加细提高精度，考察分点前后积分值关系，得到了龙贝格求积公式，但求积公式统一用等分区间造成了变化不大的区间计算资源的浪费，所以提出了自适应积分方法。
进一步为了提高代数精度，我们从插值点入手可以将精度提高到2n+1，从而引入高斯求积公式和带权正交，包括三种常用的，一般的，权为1，为勒让德多项式的零点，计算奇异积分用高斯乔比雪夫，计算无穷积分用拉盖儿。
最后模仿积分提出的外推法，由于微分的余项也可泰勒展开为级数，所以可以外推法提高数值微分的精度。