高中奥数 2022-01-05

2022-01-05-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚数列的通项与求和 P019 例1）

数列满足:对任意非负整数、,都有,且.求该数列的通项公式.

解

利用题给的条件可知,对任意,都有

可知,且.

结合,可发现当时,都有,这是否就是数列的通项公式呢?

假设,,那么由条件知

故.

这样,由数学归纳法原理,可知对,都有.

综上所述,所求数列的通项公式为.

说明

利用已知条件求数列通项是与数列相关的问题中经常出现的,本质上,此题还是一个特殊的函数方程问题,这与数列是定义在正整数集的函数有关.

2022-01-05-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚数列的通项与求和 P020 例2）

设是给定的正整数,数列满足,.证明:.

证明

由条件,可知对任意,都有,故对任意,都有.

现在对条件式作变形

将上式移项得

对(1)将下标从1到求和,得

$\begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{a_{k-1}+n}&=\left(\dfrac{1}{a_{0}}-\dfrac{1}{a_{1}}\right)+\left(\dfrac{1}{a_{1}}-\dfrac{1}{a_{2}}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_{n}}\right)\\ &=\dfrac{1}{a_{0}}-\dfrac{1}{a_{n}}\\ &=2-\dfrac{1}{a_{n}}. \end{aligned}$

结合,可知

于是.

再由知,故

得.

所以,命题成立.

说明

这里对条件式“取倒数”是基于“裂项”的思想,在数列求和中经常会先“裂项”,在求和时达到前后相消的效果.

2022-01-05-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚数列的通项与求和 P021 例3）

对,设.证明:.

证明

基本的想法是从局部往整体去处理,为此,对作恰当放大,达到裂项相消的目的注意到,令,,则.

故

$\begin{aligned} a_{n} &<\dfrac{n}{x^{2}+x y+y^{2}}=\dfrac{n(x-y)}{x^{3}-y^{3}} \\ &=\dfrac{n(x-y)}{(n+1)^{2}-(n-1)^{2}}=\dfrac{1}{4}(x-y) \\ &=\dfrac{1}{4}\left((n+1)^{\frac{2}{3}}-(n-1)^{\frac{2}{3}}\right) . \end{aligned}$

所以

$\begin{aligned} a_{1}+\cdots+a_{999} &<\dfrac{1}{4} \sum_{n=1}^{999}\left((n+1)^{\frac{2}{3}}-(n-1)^{\frac{2}{3}}\right) \\ &=\dfrac{1}{4}\left(\sum_{n=2}^{1000} n^{\frac{2}{3}}-\sum_{n=0}^{998} n^{\frac{2}{3}}\right) \\ &=\dfrac{1}{4}\left(1000^{\frac{2}{3}}+999^{\frac{2}{3}}-1\right) \\ &<\dfrac{1}{2} \times 1000^{\frac{2}{3}}=50 . \end{aligned}$

命题获证.

说明

“先放缩再求和”在处理与数列求和相关的不等式时是一个重要的方法.

高中奥数 2022-01-05

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