C语言-算法-数论基础

【模板】快速幂

题目描述

给你三个整数 $a,b,p$，求 $a^b\mathrm{mod}p$。

输入格式

输入只有一行三个整数，分别代表 $a,b,p$。

输出格式

输出一行一个字符串 a^b mod p=s，其中 $a,b,p$ 分别为题目给定的值， $s$ 为运算结果。

样例 #1

样例输入 #1

2 10 9

样例输出 #1

2^10 mod 9=7

提示

样例解释

$2^{10}=1024$，$1024\mathrm{mod}9=7$。

数据规模与约定

对于 $100\%$ 的数据，保证 $0\le a,b<2^{31}$，$a+b>0$，$2\le p<2^{31}$。

代码

#include 
#include 

int main(int argc, char *argv[])
{
	long long a, b, p, ans,x , y;
	scanf("%lld %lld %lld", &a, &b, &p);
	x = a;
	y = b;
	ans = 1;
	x = x % p;
	
	while (y > 0)
	{
		if ((y % 2) == 1)
		{
			ans = (ans * x) % p;
		}
		y = y / 2;
		x = (x * x) % p;
	}
	printf("%lld^%lld mod %lld=%lld", a, b, p, ans);
	
	return 0;
}

「EZEC-2」异或

题目描述

有 $T$ 组询问，每次给定两个正整数 $n,l$，

你需要构造一个长度为 $l$ 的正整数序列 $a$（编号从 $1$ 至 $l$），

且满足 $\forall i\in [1,l]$，都有 $a_i\in [1,n]$。

求：

$$\sum _{i=1}^l\sum _{j=1}^{i-1}{a}_i\oplus a_j$$

的最大值。

为了避免答案过大，对于每组询问，只需要输出这个最大值对 $10^9+7$ 取模的结果。

输入格式

第一行一个整数 $T$，表示数据组数。

接下来第 $2$ 行到第 $T+1$ 行，每行两个整数 $n,l$ ，分别代表 $a_i$ 的最大取值与 $a$ 的长度。

输出格式

共 $T$ 行，每行一个整数，对应每组询问的答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

样例 #1

样例输入 #1

1
2 3

样例输出 #1

6

样例 #2

样例输入 #2

2
114 514
1919 180

样例输出 #2

8388223
16580700

提示

【样例解释 #1】
当 $n=2,l=3$，$a$ 取 $\{1,2,1\}$ 的任一排列时可以得到最大值，为 $(1\oplus 2)+(1\oplus 1)+(2\oplus 1)=6$，易证明此时原式有最大值。

---

【数据规模与约定】

测试点编号	$T\le$	$n\le$	$l\le$
$1\sim 5$	$1$	$10$	$5$
$6$	$5\times 10^5$	$10^{12}$	$2$
$7$	$5\times 10^5$	$10^{12}$	$3$
$8\sim 10$	$5\times 10^5$	$10^{12}$	$10^5$

对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\le T\le 5\times 10^5$，$1\le n\le 10^{12}$，$2\le l\le 10^5$。

---

【提示】

1. 「$\oplus$」是按位异或符号。如果您不知道什么是按位异或，可以参考这里。
2. 取模是一种运算，$a$ 对 $b$ 取模代表将 $a$ 赋值为 $a$ 除以 $b$ 所得到的余数。
   在 C++ / Python 中的取模符号为 %，在 Pascal 中的取模符号为 mod。
3. $\sum$ 是求和符号。如果您不知道什么是 $\sum$ 符号，可以参考这里。
4. 请注意数据的读入输出对程序效率造成的影响。

代码

【模板】线性筛素数

题目背景

本题已更新，从判断素数改为了查询第 $k$ 小的素数
提示：如果你使用 cin 来读入，建议使用 std::ios::sync_with_stdio(0) 来加速。

题目描述

如题，给定一个范围 $n$，有 $q$ 个询问，每次输出第 $k$ 小的素数。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,q$，分别表示查询的范围和查询的个数。

接下来 $q$ 行每行一个正整数 $k$，表示查询第 $k$ 小的素数。

输出格式

输出 $q$ 行，每行一个正整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

100 5
1
2
3
4
5

样例输出 #1

2
3
5
7
11

提示

【数据范围】
对于 $100\%$ 的数据，$n=10^8$，$1\le q\le 10^6$，保证查询的素数不大于 $n$。

代码

#include 
#include 
#include 
void S(); // 用筛法找出所有小于n的素数
#define MAX 2000000
long long n, q;
int prime[MAX], cnt = 0; // prime数组用于存储所有小于n的素数，cnt用于记录素数的数量
int isPrime[MAX] = {0}; // isPrime数组用于标记每个数是否为素数，0表示是素数，1表示不是素数

int main(int argc, char *argv[])
{
	long long k, i;
	scanf("%lld %lld", &n, &q);
	S(); // 找出所有小于n的素数
	
	for (i = 1; i <= q; i++) // 输出第k小的素数
	{
		scanf("%lld", &k);
		printf("%lld\n", prime[k - 1]); 
	}
	
	return 0;
}

void S() // 用筛法找出所有小于n的素数
{
	long long limit, i, j;
	limit = sqrt(n) + 1;
	for (j = 2; j <= limit; j++)
	{
		if (isPrime[j] == 0) // 如果j是素数，则将所有p的倍数标记为非素数
		{
			for (i = j * j; i <= n; i += j)
			{
				isPrime[i] = 1;
			}
		}
	}
	for (j = 2; j <= n; j++) // 将所有标记为素数的数存入prime数组
	{
		if (isPrime[j] == 0)
		{
			prime[cnt++] = j;
		}
	}
}