作业十二

2.任取环R中的元素x都满足x2=x，请证明环R是交换环。

解：若R是整环ab=ba，∀a,b∈R,若有ab=0,则ba=ab=0，满足交换环的性质，否则a^2b2=ab=(ab)^2=abab=aabb，abab=aabb，根据消去律有ab=ba，R是交换环。
若R不是整环，对于那些R那些满足消去律的元素任然满足ab=ba，对不满足消去律的元素，即ab=0且a\0,b\0，(ba)2=ba ==baba=b(ab)a=0 =baba=b(ab)a=0，所以ab=ba=0，
所以环R是交换环。

3.记Z[√2]={a+b^(1/2): a,b ∈ Z}，请证明Z[√2]是环，且是整环证明:

·显然，Z[√2]，在加法上成群，单位元为0，且是阿贝尔群
·对于乘法，任取a,b,c, d ∈ Z，有
· (a+ b√2)(c +√2)=(ac ＋2bd)+(ad + bc)√2 ∈ Z[√2],乘法封闭性得证。
·乘法对加法分配律和乘法结合律(好像易得)所以Z[√2]成环
·整环证明:
假设存在a,b不同为0，c,d不同时为0，若(a ＋b√2)(c +d√2)=0则(a ＋√2)(c+d√2)=(ac + 2bd)+(ad ＋ bc)√2=0,则(ac+2bd)=0，且(ad+bc)=0(因为这两个式子的结果为整数，所以只能等于0)，联立得c/d =√2,又c,d为整数，所以假设不成立，同理可解得当(a +b√2)(c+ dv2)=0时，a=0且b=0或c=0且d=0,整环得证。

4 记 Z [i] ={a+bi : a , b ∈ Z }，证明Z[i]是整环。

显然，在加法上成群，单位元为0。
封闭性和上面第3题一样的证法，乘法对加法分配律，乘法结合律也一样
整环证明
存在任意整数a,b,c,d (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i=0,因为ac-bd为整数 ad+bc为整数，所以ac-bd=0,ad+bc=0,解为a,b同时为0 或c,d同时为0 则(a+bi)=0或(c+di)=0 整环得证

5 如果I和J都是交换环R的理想，则 I+J={i+j,i∈I,j∈J} 也是R的理想。

由理想的吸收性 则对任意r∈R, 对于任意i∈I,存在k∈I且 rk=i。同理对于任意j∈J,存在z∈J且 rz=j。易得 k + z ∈ I + J, r ( k + z ) = r k + r z = i + j ∈ I , 所以 r ( I + J ) ⊂ I + J , 同理得 ( I + J ) r ⊂ I + J, 所以I+J也是R的主理想。

6 命题12.4
设映射 ϕ: R→ R ′ 是环同态，则
1 如果R是交换环，则 ϕ ( R )也是交换环。
2 分别记0和0‘是R和R’的加法单位元， ϕ ( 0 ) = 0 ′
3 分别记1和1‘是R和R’的乘法单位元，如果 ϕ 是满射，则 ϕ ( 1 ) = 1 ′

证明：任意 a , b ∈ R
1 如果R是交换环,则a+b=b+a, ab=ba 所以 ϕ (a+b) = ϕ (b+a) = ϕ (a) + ϕ (b) = ϕ (b) + ϕ (a) ; ϕ (ab) = ϕ (ba) = ϕ (a) ϕ (b) = ϕ (b) ϕ (a) 。ϕ®是交换环。

2 0是R的加法单位元 a+0=0+a=a,所以 ϕ ( a + 0 ) = ϕ ( 0 + a ) = ϕ ( a ) = ϕ ( a ) + ϕ ( 0 ) = ϕ ( 0 ) + ϕ ( a ) , 易得 ϕ ( 0 )为R‘的加法单位元,所以 ϕ ( 0 ) = 0 ′ 。

3 1为R的单位元，则1*a=a，因为 ϕ为满射，则对 a ’ ∈ R ’,有ϕ(a)=a’。所以ϕ(1a)=ϕ(a)=ϕ(1)ϕ(a),所以ϕ(1)为R‘的乘法单位元1’，所以1 ′=ϕ(1)。