作业六

1.设G是群，H是G的子群。任取g1，g2属于G，则g1H = g2H当且仅当g1-1g2属于 H。

充分性
由于g1H = g2H，即存在h1，h2属于H，使g1h1 = g2h2，由消去律可得g1^-1g2 = h1h2^-1，则g^-1g2属于H。
必要性
由于g1^-1g2属于H，以及群的封闭性所以g1^-1，g2属于H，有群公理又易得g^-1的乘法逆元g属于H，故g1H = g2H。

2.如果群H是群G的子群，且[G:H] = 2,请证明gH = Hg。
如果g属于H，gH = Hg易证。
如果g不属于H，则gH不属于H，Hg不属于H，又[G：H] = 2,所以gH,Hg都不属于H，故gH,Hg都属于G-H,即gH = Hg。

3.如果群H是群G的真子群，即存在g属于G但是g不属于H。请证明|H|<=|G|/2。
H是G的真子群，故[G：H]>=2,又[G:H] = |G|/|H|,所以|H|<=|G|/2。

4.证明：设群G为1~p-1%p下的乘法群，p为素数。
首先证明G是一个群
封闭性，对于任意g1，g2属于G，因为1<=g1g2%p 由于1g=g1，存在单位元1。
证明存在gg-1 ≡1(mod p),p为质数，gcd（n,p）=1,故必存在g-1使gg-1 ≡1(mod p)成立。
对任意g属于G有ord（a）|p-1，则存在nord（a）= p-1,n属于整数，故所以aord(a)*n = ap-1，由于所以ap-1≡ 1(mod p)。
证明欧拉定理
设群G为1~n-1%n下的乘法群，n为整数。
首先证明G是一个群
封闭性，对于任意g1，g2属于G，因为1<=g1g2%n 由于1g=g1，存在单位元1。
证明存在gg-1 ≡1(mod p),p为质数，gcd（n,p）=1,故必存在g-1使gg-1 ≡1(mod p)成立。
对任意g属于G,由拉格朗日定理，有ord（a）|phi(n)，则存在kord（a）=n-1,s属于整数，故所以aord(a)*k = an-1，由于所以an-1≡ 1(mod n)。