作业七

1.设 ϕ : G ↦ H ϕ:G↦Hϕ:G↦H是一种群同态。请证明:如果G是循环群，则f（G）也是循环群；如果G是交换群，则f（G）也是交换群。
首先令g ∈ G是生成元，则 g^m = e,对任意a∈G，则f(a) = f(g^m)=f(g) ^m ,f(g)也是群H的生成元。任取 a , b ∈ G , f ( a ∗ b ) = f ( b ∗ a ) = f ( b ) f ( a ) 。

2.证明：如果H是群G上指标为2的子群，则H是G的正规子群。
g∈H，gh1=h2g∈H,即gH = Hg；
g∉ H，gh ∈G−H，hg∈G−H，即gH = Hg。

3.证明：如果群G是阿贝尔群，则商群G/H也是阿贝尔群。
∀a，b∈G,∃h1,h2,3,h4,h5∈H,使( a h 1 ) ( b h 2 ) = abh3 = bah3 = bah4h5 = bh4ah5 = ( bh4 ) (ah5)。

4.证明：如果群G是循环群，则商群G/H也是循环群。
对任意a属于G，则（aH）^n = anH。当a是G的生成元时，an能够生成G,所以G/H每个元素都能够有anH生成，aH是群G/H的生成元，G/H是循环群。