02 分解质因子

一、数n的质因子分解

题目描述：

输入一个数n（n<=10^6）,将数n分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

输入 5 

输出 5 1

输入 10

输出 2 1 5 1

朴素解法：

首先求出1~n的所有质数，每个质数每个质数的进行去除，要保证n中除尽除完，直到把n除到1为止。

程序实现：

#include

using namespace std;

const int N=1e6;

int prime[N],idx;
bool st[N];

void init(){
	for(int i=2;i>n;
	if(!st[n]) cout<

优化思路：

其一：n如果除掉了前面的某个质因子，后面不能再被某个质因子的倍数整除了，证明比较简单，使用反证法就可以。

其二：n中最多只含有一个大于的因子。证明通过反证法：如果有两个大于sqrt(n)的因子，那么相乘会大于n，矛盾。证毕

基于上面的两条结论，只要从1~把每个数都除一遍，除尽除完，最后剩下的数如果不为1，这个数就是最大的质因子

代码实现

#include
using namespace std;

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=2;i<=n/i;i++){
		int sum=0;
		while(n%i==0){
			sum++;
			n/=i;
		}
		if(sum) cout<

二、阶乘的质因子分解

题目描述

题目分析：

我们枚举1∼n的所有数，把每一个数的质因子加到一个数组里。
最后输出质因子数量大于0的数。 时间复杂度为O(n^2/ln n)

程序实现：

#include
using namespace std;
const int N=1e6;
int prime[N],idx;
bool st[N];

void init(){
	for(int i=2;i>n;
	for(int i=2;i<=n;i++){  //枚举每一个数
		for(int j=1;prime[j]<=i&&j<=idx;j++){
			int p=prime[j];
			int cur=i;
			while(cur%p==0){
				ans[j]++;
				cur/=p;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=idx;i++){
		if(ans[i]) cout<

优化思路：

我们不去枚举每个数，而是枚举每个质因子，看下在2~n中每个质因子出现的次数

在1x2x3x4x5x6x......x n-1 x n其中

能够被2整除的数有：

1*2 2*2 3*2....... i*2  其中2*i<=n        个数 i=n/2

能够被整除的数有:

1* 2* 3*......i* 其中i*<=n  个数i=n/

...........

在统计被2整除的个数时，相当于把每个数都除了2，剩下的数还有可能被2整除那些数是的数，的数有n/个，剩下的数还有可能被2整除，那些数是的数，的数有n/个，............所以2作为因子的个数为

   其中

同理3作为因子的个数为：

   其中

等等

所以只要枚举每个质数，使用循环在求出该质数作为因子的个数即可，每个质数求解时，

p=,质数的个数为，因此总的时间复杂度为*=*= ，即时间复杂度为O(n)