立体几何之目：2012年理数题19~棱柱上的二面角

2012年理数全国卷题19

（19）（本小题满分12 分）

如图，直三棱柱 中， 是棱 的中点.

（Ⅰ）证明∶ ;

（Ⅱ）求二面角 的大小.

2012年理科数学全国卷

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【解答问题1】

∵ 是直三棱柱，∴ 是矩形.

又∵ 是棱 的中点，

∴ 是等腰直角三角形.

∴

∵ ,

∴ 面 .

又∵ 面 ， ∴ .

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【解答问题2】

2012年理数全国卷题19

M和D是中点

作 中点 , 并连接 .

面 , ∴

又∵ 是直三棱柱， ，

∴ , 而 , ∴

∵ , ∴ 面 , 是 在平面 内的投影.

∵ 是直三棱柱，∴ 3个侧面是矩形.

令 , 则 ,

, ,

∴

结论：二面角 等于 .

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【提炼与提高】

本题第1问的解答应用了以下策略：由线面垂直推出线线垂直，应用平面几何知识推出新的线线垂直，再由线线垂直推出线面垂直，最后推出线线垂直，完成证明。

这是立体几何证明中的常用策略。2012年的理数卷和文数卷使用了相同的几何体，但第1问略有不同，请注意比较。

第2问是本题的重点。注意这个问题一个高考中的高频考点：

如何求二面角的大小？

对这类问题，常用的路线有三条。

路线一：找出二面角的平面角，并直接计算平面角的大小。

路线二：找出存在投影关系的两个多边形（一般来说是两个三角形），根据两个三角形的面积比计算。

路线三：建立空间直角坐标系，并求出法向量；根据法向量的夹角计算二面角。

具体用哪一种方法，要根据实际情况来选择。就本题而言，用面积比来求二面角较为简洁。

本题用向量法当然也是可以的，读者可以自行比较。

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【相关考题】

2004年文数全国卷C题21

2007年理数海南卷题18

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