【小呆的力学笔记】弹塑性力学的初步认知二：应力分析(1)

1.1 一点的应力状态

物体在受到外力或者自身不均匀的温度场等作用时，在其内部会产生内力，物体的内力与方向和截面都有关系。假设有一个受到外力作用的变形体，被一个平面截成A、B两个部分，B部分对A部分施加有作用力，在该截面上的dS微小面积上，作用力为dP，那么我们成dP与dS的比例极限为应力，如下式
$$\mathbf{\sigma }=\underset{\Delta S\to 0}{\lim }\frac{d\mathbf{P}}{dS}\text{\hspace{1em}(1)}$$
上式黑体表明是方向相关量。

$$图1内力示意图$$

应力是有方向，我们规定垂直于截面的分量成为正应力，平行于截面的分量为剪应力。
为了分析一点的应力状态，从物体内任一点取一微小的四面体单元，如下图2，其中${\sigma }_{xx}$、${\sigma }_{yy}$、${\sigma }_{zz}$为正应力，${\tau }_{xy}$、${\tau }_{xz}$、${\tau }_{yz}$、${\tau }_{yx}$、${\tau }_{zx}$、${\tau }_{zy}$为剪应力，将这些分量放在一起来表示一点的应力状态，组成的应力张量有如下形式，我们不加证明的引出应力张量是二阶张量的这个结论。

[ σ x x σ y x σ z x σ x y σ y y σ z y σ x z σ y z σ z z ] \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{yx} & \sigma_{zx}\\ \sigma_{xy} & \sigma_{yy} & \sigma_{zy}\\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} ​σxx​σxy​σxz​​σyx​σyy​σyz​​σzx​σzy​σzz​​ ​

$$图2四面体应力示意图$$

1.2 一点主应力状态

假设该斜面上只有正应力分量，没有剪应力，即图2四面体的斜面上只有正应力${\mathbf{\sigma }}_v$，没有剪应力，其中${\mathbf{\sigma }}_v$的应力方向余弦为$(l,m,n)$，根据力的平衡，可得下式（2）。
$$\begin{gathered} {\sigma }_{xx}\cdot S_{\Delta BOC}+{\tau }_{yx}\cdot S_{\Delta AOC}+{\tau }_{zx}\cdot S_{\Delta AOB}={\sigma }_{vx}{S}_{\Delta ABC} \\ {\tau }_{xy}\cdot S_{\Delta BOC}+{\sigma }_{yy}\cdot S_{\Delta AOC}+{\tau }_{zy}\cdot S_{\Delta AOB}={\sigma }_{vy}{S}_{\Delta ABC} \\ {\tau }_{xz}\cdot S_{\Delta BOC}+{\tau }_{yz}\cdot S_{\Delta AOC}+{\sigma }_{zz}\cdot S_{\Delta AOB}={\sigma }_{vz}{S}_{\Delta ABC}\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$
其中
$$\begin{gathered} S_{\Delta AOC}=\frac{1}{2}dxdz=S_{\Delta ABC}\cdot m \\ {S}_{\Delta AOB}=\frac{1}{2}dxdy=S_{\Delta ABC}\cdot n \\ {S}_{\Delta BOC}=\frac{1}{2}dydz=S_{\Delta ABC}\cdot l\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$
那么力平衡方程改为
$$\begin{gathered} {\sigma }_{xx}\cdot l+{\tau }_{zx}\cdot n+{\tau }_{yx}\cdot m={\sigma }_{vx}={\sigma }_{v}l \\ {\tau }_{xy}\cdot l+{\sigma }_{yy}\cdot m+{\tau }_{zy}\cdot n={\sigma }_{vy}={\sigma }_{v}m \\ {\tau }_{xz}\cdot l+{\tau }_{yz}\cdot m+{\sigma }_{zz}\cdot n={\sigma }_{vz}={\sigma }_{v}n\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$
如果应用张量记法，那么
$${\sigma }_{ij}{n}_i=p_j\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中$p_j={\sigma }_{vj}$
合并同类相，将其改为
$$\begin{gathered} ({\sigma }_{xx}-{\sigma }_v)\cdot l+{\tau }_{yx}\cdot m+{\tau }_{zx}\cdot n=0 \\ {\tau }_{xy}\cdot l+({\sigma }_{yy}-{\sigma }_v)\cdot m+{\tau }_{zy}\cdot n=0 \\ {\tau }_{xz}\cdot l+{\tau }_{yz}\cdot m+({\sigma }_{zz}-{\sigma }_v)\cdot n=0\text{\hspace{1em}(6)} \end{gathered}$$
如果应用张量记法，那么
$${\sigma }_{ij}{n}_i=p_j=p{n}_j\Rightarrow {\sigma }_{ij}{n}_i-p{n}_j={\sigma }_{ij}{n}_i-p{\delta }_{ij}{n}_i=({\sigma }_{ij}-p{\delta }_{ij})n_i=0\text{\hspace{1em}(7)}$$
其中$p={\sigma }_v=|{\mathbf{\sigma }}_v|$
写成矩阵形式，如下式
[ σ x x − σ v τ y x τ z x τ x y σ y y − σ v τ z y τ x z τ y z σ z z − σ v ] [ l m n ] = [ 0 0 0 ] (8) \begin{bmatrix} \sigma_{xx}-\sigma_{v} & \tau_{yx} & \tau_{zx}\\ \tau_{xy} & \sigma_{yy}-\sigma_{v} & \tau_{zy}\\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}-\sigma_{v} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l \\m \\n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\0 \\0 \end{bmatrix} \tag{8} ​σxx​−σv​τxy​τxz​​τyx​σyy​−σv​τyz​​τzx​τzy​σzz​−σv​​ ​ ​lmn​ ​= ​000​ ​(8)
方向余弦存在非零解，那么系数行列式需为零，如下所示。
∣ σ x x − σ v τ y x τ z x τ x y σ y y − σ v τ z y τ x z τ y z σ z z − σ v ∣ = 0 (9) \begin{vmatrix} \sigma_{xx}-\sigma_{v} & \tau_{yx} & \tau_{zx}\\ \tau_{xy} & \sigma_{yy}-\sigma_{v} & \tau_{zy}\\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}-\sigma_{v} \end{vmatrix}=0 \tag{9} ​σxx​−σv​τxy​τxz​​τyx​σyy​−σv​τyz​​τzx​τzy​σzz​−σv​​ ​=0(9)
将其展开，如下式，并利用剪应力互等关系。
∣ σ x x − σ v τ y x τ z x τ x y σ y y − σ v τ z y τ x z τ y z σ z z − σ v ∣ = ( σ x x − σ v ) ( σ y y − σ v ) ( σ z z − σ v ) + τ y x τ z y τ x z + τ z x τ x y τ y z − ( σ y y − σ v ) τ z x τ x z − ( σ z z − σ v ) τ y x τ x y − ( σ x x − σ v ) τ z y τ y z = σ x x σ y y σ z z − ( σ x x σ y y + σ x x σ z z + σ y y σ z z ) σ v + ( σ x x + σ y y + σ z z ) σ v 2 − σ v 3 + 2 τ x z τ x y τ y z + ( τ x z 2 + τ x y 2 + τ y z 2 ) σ v − σ y y τ x z 2 − σ z z τ x y 2 − σ x x τ y z 2 = − σ v 3 + ( σ x x + σ y y + σ z z ) σ v 2 + ( τ x z 2 + τ x y 2 + τ y z 2 − σ x x σ y y − σ x x σ z z − σ y y σ z z ) σ v + σ x x σ y y σ z z + 2 τ x z τ x y τ y z − σ y y τ x z 2 − σ z z τ x y 2 − σ x x τ y z 2 = − σ v 3 + I 1 σ v 2 + I 2 σ v + I 3 = 0 (10) \begin{aligned} \begin{vmatrix} \sigma_{xx}-\sigma_{v} & \tau_{yx} & \tau_{zx}\\ \tau_{xy} & \sigma_{yy}-\sigma_{v} & \tau_{zy}\\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}-\sigma_{v} \end{vmatrix}=&(\sigma_{xx}-\sigma_{v})(\sigma_{yy}-\sigma_{v})(\sigma_{zz}-\sigma_{v})+\tau_{yx}\tau_{zy}\tau_{xz}+\tau_{zx}\tau_{xy}\tau_{yz}\\ &-(\sigma_{yy}-\sigma_{v})\tau_{zx}\tau_{xz}-(\sigma_{zz}-\sigma_{v})\tau_{yx}\tau_{xy}-(\sigma_{xx}-\sigma_{v})\tau_{zy}\tau_{yz}\\ =&\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz}-(\sigma_{xx}\sigma_{yy}+\sigma_{xx}\sigma_{zz}+\sigma_{yy}\sigma_{zz})\sigma_{v}+(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz})\sigma_{v}^2\\ &-\sigma_{v}^3+2\tau_{xz}\tau_{xy}\tau_{yz}+(\tau_{xz}^2+\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2)\sigma_{v}-\sigma_{yy}\tau_{xz}^2-\sigma_{zz}\tau_{xy}^2-\sigma_{xx}\tau_{yz}^2\\ =&-\sigma_{v}^3+(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz})\sigma_{v}^2+\\ &(\tau_{xz}^2+\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2-\sigma_{xx}\sigma_{yy}-\sigma_{xx}\sigma_{zz}-\sigma_{yy}\sigma_{zz})\sigma_{v}+\\ &\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz}+2\tau_{xz}\tau_{xy}\tau_{yz}-\sigma_{yy}\tau_{xz}^2-\sigma_{zz}\tau_{xy}^2-\sigma_{xx}\tau_{yz}^2\\ =&-\sigma_{v}^3+I_1\sigma_{v}^2+I_2\sigma_{v}+I_3=0 \end{aligned}\tag{10} ​σxx​−σv​τxy​τxz​​τyx​σyy​−σv​τyz​​τzx​τzy​σzz​−σv​​ ​====​(σxx​−σv​)(σyy​−σv​)(σzz​−σv​)+τyx​τzy​τxz​+τzx​τxy​τyz​−(σyy​−σv​)τzx​τxz​−(σzz​−σv​)τyx​τxy​−(σxx​−σv​)τzy​τyz​σxx​σyy​σzz​−(σxx​σyy​+σxx​σzz​+σyy​σzz​)σv​+(σxx​+σyy​+σzz​)σv2​−σv3​+2τxz​τxy​τyz​+(τxz2​+τxy2​+τyz2​)σv​−σyy​τxz2​−σzz​τxy2​−σxx​τyz2​−σv3​+(σxx​+σyy​+σzz​)σv2​+(τxz2​+τxy2​+τyz2​−σxx​σyy​−σxx​σzz​−σyy​σzz​)σv​+σxx​σyy​σzz​+2τxz​τxy​τyz​−σyy​τxz2​−σzz​τxy2​−σxx​τyz2​−σv3​+I1​σv2​+I2​σv​+I3​=0​(10)

其中$I_1$、$I_2$、$I_3$成为应力不变量，如下所示。
$$\begin{array}{rl}{I}_1& ={\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz}=tr[\mathbf{\sigma }]\\ I_2& ={\tau }_{xz}^2+{\tau }_{xy}^2+{\tau }_{yz}^2-{\sigma }_{xx}{\sigma }_{yy}-{\sigma }_{xx}{\sigma }_{zz}-{\sigma }_{yy}{\sigma }_{zz}\\ I_3& ={\sigma }_{xx}{\sigma }_{yy}{\sigma }_{zz}+2{\tau }_{xz}{\tau }_{xy}{\tau }_{yz}-{\sigma }_{yy}{\tau }_{xz}^2-{\sigma }_{zz}{\tau }_{xy}^2-{\sigma }_{xx}{\tau }_{yz}^2=|\mathbf{\sigma }|\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$
如果应用张量记法，那么
$$I_1={\sigma }_{ii}\text{\hspace{1em}(12)}$$
$$\begin{array}{rl}{I}_2& ={\tau }_{xz}^2+{\tau }_{xy}^2+{\tau }_{yz}^2-{\sigma }_{xx}{\sigma }_{yy}-{\sigma }_{xx}{\sigma }_{zz}-{\sigma }_{yy}{\sigma }_{zz}\\ & ={\tau }_{xz}^2+{\tau }_{xy}^2+{\tau }_{yz}^2+\frac{1}{2}({\sigma }_{xx}^2+{\sigma }_{yy}^2+{\sigma }_{zz}^2)-\frac{1}{2}({\sigma }_{xx}^2+{\sigma }_{yy}^2+{\sigma }_{zz}^2)-{\sigma }_{xx}{\sigma }_{yy}-{\sigma }_{xx}{\sigma }_{zz}-{\sigma }_{yy}{\sigma }_{zz}\\ & =\frac{1}{2}{\sigma }_{ij}{\sigma }_{ij}-\frac{1}{2}{\sigma }_{ii}{\sigma }_{jj}\\ & =-\frac{1}{2}({\sigma }_{ii}{\sigma }_{jj}-{\sigma }_{ij}{\sigma }_{ij})\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$
那么，观察公式（9）不难法线${\sigma }_v$就是系数矩阵的特征值，而方向余弦向量就是特征向量。

1.3 应力偏张量、球张量、应力不变量

下图3为能反映一点的应力状态的六面体，众多的金属实验表明（在常见的应力范围内）当六面体各个面上只有相等正应力无切应力时，物体不发生塑性变形和形状变化。由此，定义了这么一种应力状态，即只有主应力并且主应力相等，如下式,称应力球张量。
[ σ m ] = [ σ m 0 0 0 σ m 0 0 0 σ m ] (14) [\boldsymbol\sigma_m]=\begin{bmatrix} \sigma_{m} & 0 & 0\\ 0 & \sigma_{m} & 0\\ 0 & 0 & \sigma_{m} \end{bmatrix}\tag{14} [σm​]= ​σm​00​0σm​0​00σm​​ ​(14)
那么$${\sigma }_m=\frac{1}{3}{I}_1=\frac{1}{3}({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})\text{\hspace{1em}(15)}$$

$$图3六面体应力示意图$$
那么将应力张量减去应力球张量，可得应力偏张量（同时可以确定的是[s]也是对称矩阵）
[ s ] = [ σ x x − σ m τ x y τ x z τ y x σ y y − σ m τ y z τ z x τ z y σ z z − σ m ] = [ s x x s x y s x z s y x s y y s y z s z x s z y s z z ] (16) [\boldsymbol s]=\begin{bmatrix} \sigma_{xx}-\sigma_{m} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\ \tau_{yx} & \sigma_{yy}-\sigma_{m} & \tau_{yz}\\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz}-\sigma_{m} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} s_{xx} & s_{xy} & s_{xz}\\ s_{yx} & s_{yy} & s_{yz}\\ s_{zx} & s_{zy} & s_{zz} \end{bmatrix}\tag{16} [s]= ​σxx​−σm​τyx​τzx​​τxy​σyy​−σm​τzy​​τxz​τyz​σzz​−σm​​ ​= ​sxx​syx​szx​​sxy​syy​szy​​sxz​syz​szz​​ ​(16)

同样，按照第2节的推导过程，可以得到应力偏张量的特征方程的公式如下所示。
∣ s x x − s v s y x s z x s x y s y y − s v s z y s x z s y z s z z − s v ∣ = ∣ s x x − s v s x y s x z s y x s y y − s v s y z s z x s z y s z z − s v ∣ = − s v 3 + I ^ 1 s v 2 + I ^ 2 s v + I ^ 3 = 0 (17) \begin{aligned} \begin{vmatrix} s_{xx}-s_{v} & s_{yx} & s_{zx}\\ s_{xy} & s_{yy}-s_{v} & s_{zy}\\ s_{xz} & s_{yz} & s_{zz}-s_{v} \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} s_{xx}-s_{v} & s_{xy} & s_{xz}\\ s_{yx} & s_{yy}-s_{v} & s_{yz}\\ s_{zx} & s_{zy} & s_{zz}-s_{v} \end{vmatrix}\\ &=-s_{v}^3+\hat I_1s_{v}^2+\hat I_2s_{v}+\hat I_3=0 \end{aligned}\tag{17} ​sxx​−sv​sxy​sxz​​syx​syy​−sv​syz​​szx​szy​szz​−sv​​ ​​= ​sxx​−sv​syx​szx​​sxy​syy​−sv​szy​​sxz​syz​szz​−sv​​ ​=−sv3​+I^1​sv2​+I^2​sv​+I^3​=0​(17)
其中，有应力偏张量的不变量如下所示。
$$\begin{array}{rl}{\hat{I}}_1& =s_{xx}+s_{yy}+s_{zz}={\sigma }_{xx}-{\sigma }_m+{\sigma }_{yy}-{\sigma }_m+{\sigma }_{zz}-{\sigma }_m=0\\ {\hat{I}}_2& =s_{xz}^2+s_{xy}^2+s_{yz}^2-s_{xx}{s}_{yy}-s_{xx}{s}_{zz}-s_{yy}{s}_{zz}\\ {\hat{I}}_3& =s_{xx}{s}_{yy}{s}_{zz}+2s_{xz}{s}_{xy}{s}_{yz}-s_{yy}{s}_{xz}^2-s_{zz}{s}_{xy}^2-s_{xx}{s}_{yz}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(18)}$$
对公式（15）进行展开合并同类项等过程，如下所示，
$$\begin{array}{rl}-s_v^3+{\hat{I}}_1{s}_v^2+{\hat{I}}_2{s}_v+{\hat{I}}_3& =-s_v^3+{\hat{I}}_2{s}_v+{\hat{I}}_3\\ & =-s_v^3+(s_{xz}^2+s_{xy}^2+s_{yz}^2-s_{xx}{s}_{yy}-s_{xx}{s}_{zz}-s_{yy}{s}_{zz})s_v\\ & +s_{xx}{s}_{yy}{s}_{zz}+2s_{xz}{s}_{xy}{s}_{yz}-s_{yy}{s}_{xz}^2-s_{zz}{s}_{xy}^2-s_{xx}{s}_{yz}^2\\ & =-s_v^3+({\tau }_{xz}^2+{\tau }_{xy}^2+{\tau }_{yz}^2)s_v\\ & -[({\sigma }_{xx}-{\sigma }_m)({\sigma }_{yy}-{\sigma }_m)+({\sigma }_{xx}-{\sigma }_m)({\sigma }_{zz}-{\sigma }_m)+({\sigma }_{yy}-{\sigma }_m)({\sigma }_{zz}-{\sigma }_m)]s_v\\ & +({\sigma }_{xx}-{\sigma }_m)({\sigma }_{yy}-{\sigma }_m)({\sigma }_{zz}-{\sigma }_m)+2{\tau }_{xz}{\tau }_{xy}{\tau }_{yz}\\ & -({\sigma }_{yy}-{\sigma }_m){\tau }_{xz}^2-({\sigma }_{zz}-{\sigma }_m){\tau }_{xy}^2-({\sigma }_{xx}-{\sigma }_m){\tau }_{yz}^2\\ & =-s_v^3+({\tau }_{xz}^2+{\tau }_{xy}^2+{\tau }_{yz}^2)s_v-({\sigma }_{xx}{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{xx}{\sigma }_{zz}+{\sigma }_{yy}{\sigma }_{zz})s_v\\ & +({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{xx}+{\sigma }_{zz}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz}){\sigma }_m{s}_v-3{\sigma }_m^2{s}_v+{\sigma }_{xx}{\sigma }_{yy}{\sigma }_{zz}\\ & -({\sigma }_{xx}{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{xx}{\sigma }_{zz}+{\sigma }_{yy}{\sigma }_{zz}){\sigma }_m+({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz}){\sigma }_m^2-{\sigma }_m^3+2{\tau }_{xz}{\tau }_{xy}{\tau }_{yz}\\ & -({\sigma }_{yy}{\tau }_{xz}^2+{\sigma }_{zz}{\tau }_{xy}^2+{\sigma }_{xx}{\tau }_{yz}^2)+({\tau }_{xz}^2+{\tau }_{xy}^2+{\tau }_{yz}^2){\sigma }_m\\ & =-s_v^3+({\tau }_{xz}^2+{\tau }_{xy}^2+{\tau }_{yz}^2)(s_v+{\sigma }_m)-({\sigma }_{xx}{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{xx}{\sigma }_{zz}+{\sigma }_{yy}{\sigma }_{zz})(s_v+{\sigma }_m)\\ & +6{\sigma }_m^2{s}_v-3{\sigma }_m^2{s}_v+{\sigma }_{xx}{\sigma }_{yy}{\sigma }_{zz}+3{\sigma }_m^3-{\sigma }_m^3+2{\tau }_{xz}{\tau }_{xy}{\tau }_{yz}\\ & -({\sigma }_{yy}{\tau }_{xz}^2+{\sigma }_{zz}{\tau }_{xy}^2+{\sigma }_{xx}{\tau }_{yz}^2)\\ & =-s_v^3+3{\sigma }_m^2{s}_v+2{\sigma }_m^3+({\tau }_{xz}^2+{\tau }_{xy}^2+{\tau }_{yz}^2-{\sigma }_{xx}{\sigma }_{yy}-{\sigma }_{xx}{\sigma }_{zz}-{\sigma }_{yy}{\sigma }_{zz})(s_v+{\sigma }_m)\\ & +{\sigma }_{xx}{\sigma }_{yy}{\sigma }_{zz}+2{\tau }_{xz}{\tau }_{xy}{\tau }_{yz}-({\sigma }_{yy}{\tau }_{xz}^2+{\sigma }_{zz}{\tau }_{xy}^2+{\sigma }_{xx}{\tau }_{yz}^2)\\ & =-s_v^3-{\sigma }_m^3+3{\sigma }_m^2{s}_v+3{\sigma }_m^3+I_2(s_v+{\sigma }_m)+I_3\\ & =-(s_v+{\sigma }_m)(s_v^2-s_v{\sigma }_m+{\sigma }_m^2-3{\sigma }_m^2)+I_2(s_v+{\sigma }_m)+I_3\\ & =-(s_v+{\sigma }_m)(s_v+{\sigma }_m)(s_v-2{\sigma }_m)+I_2(s_v+{\sigma }_m)+I_3\\ & =-(s_v+{\sigma }_m{)}^2(s_v+{\sigma }_m-3{\sigma }_m)+I_2(s_v+{\sigma }_m)+I_3\\ & =-(s_v+{\sigma }_m{)}^3+3{\sigma }_m(s_v+{\sigma }_m{)}^2+I_2(s_v+{\sigma }_m)+I_3\\ & =-(s_v+{\sigma }_m{)}^3+I_1(s_v+{\sigma }_m{)}^2+I_2(s_v+{\sigma }_m)+I_3=0\end{array}\text{\hspace{1em}(19)}$$
对比公式（19）和公式（10），如下所示。
$$\begin{gathered} -(s_v+{\sigma }_m{)}^3+I_1(s_v+{\sigma }_m{)}^2+I_2(s_v+{\sigma }_m)+I_3=0 \\ -{\sigma }_v^3+I_1{\sigma }_v^2+I_2{\sigma }_v+I_3=0 \end{gathered}$$
不难发现，$s_v+{\sigma }_m={\sigma }_v$，即应力偏张量主值和应力张量主值存在以上转换关系。
同时，从公式（18）的${\hat{I}}_1$
$${\hat{I}}_1=s_{xx}+s_{yy}+s_{zz}=0$$
那么可以得到
$$(s_{xx}+s_{yy}+s_{zz}{)}^2=s_{xx}^2+s_{yy}^2+s_{zz}^2+2(s_{xx}{s}_{yy}+s_{xx}{s}_{zz}+s_{yy}{s}_{zz})=0\text{\hspace{1em}(20)}$$
于是
$$\begin{array}{rl}-6(s_{xx}{s}_{yy}+s_{xx}{s}_{zz}+s_{yy}{s}_{zz})& =2s_{xx}^2+2s_{yy}^2+2s_{zz}^2-2(s_{xx}{s}_{yy}+s_{xx}{s}_{zz}+s_{yy}{s}_{zz})\\ & =(s_{xx}-s_{yy}{)}^2+(s_{xx}-s_{zz}{)}^2+(s_{yy}-s_{zz}{)}^2\\ & =({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}{)}^2+({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{zz}{)}^2+({\sigma }_{yy}-{\sigma }_{zz}{)}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(21)}$$
将公式（18）的${\hat{I}}_2$代入，那么
$$\begin{array}{rl}-6(s_{xx}{s}_{yy}+s_{xx}{s}_{zz}+s_{yy}{s}_{zz})& =6[{\hat{I}}_2-({\tau }_{xz}^2+{\tau }_{xy}^2+{\tau }_{yz}^2)]\\ & =({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}{)}^2+({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{zz}{)}^2+({\sigma }_{yy}-{\sigma }_{zz}{)}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(22)}$$

$${\hat{I}}_2=\frac{1}{6}[({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}{)}^2+({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{zz}{)}^2+({\sigma }_{yy}-{\sigma }_{zz}{)}^2+6({\tau }_{xz}^2+{\tau }_{xy}^2+{\tau }_{yz}^2)]\text{\hspace{1em}(23)}$$

应力偏张量的第二不变量更常用的还有一个形式如下。
$${\hat{I}}_2=\frac{1}{6}[({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_1-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2]\text{\hspace{1em}(24)}$$
看公式（23）（24）是不是特别的眼熟，其实他就是等效应力的来源，后面还会经常用到。