搜索与图论第八期 二分图

前言

二分图也是挺重要的,希望大家能够完全掌握！！！

一、二分图的基础

二分图是这样一个图： 有两顶点集且图中每条边的的两个顶点分别位于两个顶点集中，每个顶点集中没有边直接相连接！
无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点,且其所有回路的长度均为偶数。
判断二分图的常见方法是染色法： 开始对任意一未染色的顶点染色，之后判断其相邻的顶点中，若未染色则将其染上和相邻顶点不同的颜色， 若已经染色且颜色和相邻顶点的颜色相同则说明不是二分图，若颜色不同则继续判断，bfs和dfs可以搞定！
易知：任何无回路的的图均是二分图 

图解：

二、例题

1.染色法判定二分图：

AC代码：

#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 100010, M = 2 * N;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int col[N];

void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

bool dfs(int v, int c) {
    col[v] = c;
    for (int i = h[v]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        // 有个邻接点已染色并且颜色和v一样，则矛盾
        if (col[j] == c) return false;
        // 遇到还未染色的点，则对其染不同于c的颜色，并继续DFS
        if (col[j] == -1 && !dfs(j, c ^ 1)) return false; 
    }

    return true;
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    memset(h, -1, sizeof h);
    // 初始颜色是-1，表示还未染色
    memset(col, -1, sizeof col);

    while (m--) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b), add(b, a);
    }

    bool res = true;
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        if (col[i] == -1 && !dfs(i, 0)) {
            res = false;
            break;
        }

    cout << (res ? "Yes" : "No") << endl;
    return 0;
}

---

2、二分图的最大匹配：

AC代码：

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;

int n1, n2, m;

int h[N], e[M], ne[M], idx;

//match[j]=a,表示女孩j的现有配对男友是a
int match[N];

//st[]数组我称为临时预定数组，st[j]=a表示一轮模拟匹配中，女孩j被男孩a预定了。
bool st[N];

void add(int a, int b)  // 添加一条边a->b
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

// 为男同胞 u 找一个对象， (或) u的女朋友被别人预定，给u换一个对象, 如果能找合适， 返回true
int find(int u)
{
	// 链表遍历
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i]; 
        if(!st[j])  // 如果女生没对象
        {
            st[j] = true;   // 将女生 j 预定给男生 x
            // 如果女生 j 没有对象， 或者
        	// 女生 j 在前几轮深搜中已预定有对象，但我们成功给她的对象换了个新对象
            if(match[j] == 0 || find(match[j]))
            {
                match[j] = u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    
    while (m -- )
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a ,b);
    }
    
    int re = 0;
    for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
    {
        memset(st, false, sizeof st);
        if(find(i)) re ++;
    }
    
    cout << re << endl;
    return 0;
}

总结

本文介绍了二分图的一些内容希望大家能够完全掌握，感谢大家的观看！！！