爬楼梯

LeetCode第67题

题目描述：
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
   示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs

思路

递推表达式为f(n) = f(n-1) + f(n-2)。即一个问题可以分解为同样性质的两个子问题。这时候最先想到的是采用递归来做。但是依据递归树，发现很多分支重复计算。
于是想到利用一个数组将已经计算出的存起来。如果只需要最后的结果，中间的结果不需要，那么可以用两个数组变量暂存f(n-1)和f(n-2)，这样就优化了空间复杂度。

源代码

//解法一：用数组存储每一个的结果
int climbStairs(int n){
    static int climbStair[100] = {0};   //创建数组，存储已经计算出1-n阶楼梯的走法数，初始化为0

    if(climbStair[n] != 0){             //如果之前已经计算出结果
        return climbStair[n];
    }
    else{                             
        if(n <= 1){
            climbStair[n] = 1;
            return 1;
        }  
        else{
            climbStair[n] = climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
            return climbStair[n];
        }
    }
}

//解法二：空间优化的写法
int climbStairs(int n){ 
    //递推公式f(n) = f(n-1) + f(n-2)
    //用两个变量分别代表f(n-1)和f(n-2)

    int stairs_1 = 2;
    int stairs_2 = 1;
    int tmp = n;
    int i;


    for(i = 3;i <= n;++i){
        tmp = stairs_1 + stairs_2;          //f(n) = f(n-1) + f(n-2)
        stairs_2 = stairs_1;
        stairs_1 = tmp;
    }

    return tmp;
}

分析

时间复杂度为O（n），采用解法一的空间复杂度为O（n），采用解法二的空间复杂度为O（1）。