gcd及扩展gcd
其实这题用欧几里德扩展原理可以很快的解决，先来看下什么是欧几里德扩展原理：
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：
int Gcd(int a, int b)
{
if(b == 0)
return a;
return Gcd(b, a % b);
}
当然你也可以写成迭代形式：
int Gcd(int a, int b)
{
while(b != 0)
{
int r = b;
b = a % b;
a = r;
}
return a;
}
本质上都是用的上面那个原理。
补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使
用C++的实现：
int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exGcd(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return r;
}
把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y).
求解 x，y的方法的理解
设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，ab<>0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以
结束。
在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题，可都没有说全，都只说了一部分，看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程，步骤如下：
求a * x + b * y = c的整数解。
1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = c'，此时Gcd(a',b')=1;
2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则c' * x0,c' * y0是方程a' * x + b' * y = c'的一组整数解；
3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = c'的所有整数解为：
其实我们求得的解只是一组，
a*x0+lcm(a,b)+b*y0-lcm(a,b)=1;
a*x +b*y =1;
x=x0+b/gcd(a,b);y=y0-a/gcd(a,b);
a/gcd(a,b)*x'+b/gcd(a,b)*y'=c/gcd(a,b);
x'=c/gcd(a,b)*x0+b/gcd(a,b);y'=c/gcd(a,b)*y0-a/gcd(a,b);
x = c' * x0 + b' * t
y = c' * y0 - a' * t
(t为整数)
上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。
欧几里德算法：
1 long long gcd(long long a,long long b) 2 { 3 if(b==0) 4 { 5 return a; 6 7 } 8 else return gcd(b,a%b); 9 }
扩展欧几里德：
1 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)//返回值为最大公约数 2 { 3 if(b==0) 4 { 5 x=1; 6 y=0; 7 return a;//最大公约数 8 } 9 ll d=exgcd(b,a%b,x,y); 10 long long t=x; 11 x=y; 12 y=t-(a/b)*y; 13 return d; 14 }
扩展欧几里德算法，主要用于求解 模线性方程 ax%b=c%b
则可化为 ax - by = c
这就可以用扩展欧几里德 求
对于 任意的 方程 ax+by=c 求其整数解 ，若 c % gcd(a,b) ==0 则存在整数解 ，否则不存在整数解
首先 我们 先 利用扩展欧几里德 求 ax+by = gcd（a,b）；
然后 得到的 解 x *（c/gcd(a,b)）,则为 ax+by=c 的解
注意的地方：
1：扩展欧几里德 求的是 ax+by = gcd（a,b） 的解
2：若 x0 y0 ，是方程的一个解 则，x0 +b ，y0 -a 也是方程的解
3： 求解的到的 x 值 只是方程的一个解，可能为 正 可能为 负 ，，对于一般我们要将其转化 为 整 数 （x%mod+mod）%mod （x 可能为负 的很大，所以先%mod ）
4：扩展欧几里德 函数的参数，不用 考虑其 正负 如 求解 ax - by = c 直接 exgcd（a,b,x,y）;
hdu 1576 A/B
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576
要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。
设 a/b = x; a=bx; bx%9973=n
bx-9973*y=n
扩展欧几里德做就行了
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1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 #include<set> 6 #include<map> 7 #include<queue> 8 #include<vector> 9 #include<string> 10 #define Min(a,b) a<b?a:b 11 #define Max(a,b) a>b?a:b 12 #define CL(a,num) memset(a,num,sizeof(num)); 13 #define maxn 2100 14 #define inf 9999999 15 #define mx 1<<60 16 #define mod 9973 17 using namespace std; 18 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 19 { 20 if(b==0) 21 { 22 x=1; 23 y=0; 24 return ; 25 } 26 else 27 { 28 exgcd(b,a%b,x,y); 29 int t = x; 30 x=y; 31 y=t-(a/b)*y; 32 } 33 } 34 int main() 35 { 36 int t,x,y,n,b; 37 scanf("%d",&t); 38 while(t--) 39 { 40 scanf("%d%d",&n,&b); 41 exgcd( b,mod,x,y); 42 x*=n; 43 printf("%d\n",(x%mod+mod)%mod); 44 } 45 }
hdu 2669 Romantic
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2669
题意： 输入 a b 求解 ax + by =1 的x 的最小正数解
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1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 #include<set> 6 #include<map> 7 #include<queue> 8 #include<vector> 9 #include<string> 10 #define Min(a,b) a<b?a:b 11 #define Max(a,b) a>b?a:b 12 #define CL(a,num) memset(a,num,sizeof(num)); 13 #define maxn 2100 14 #define inf 9999999 15 #define mx 1<<60 16 #define mod 9973 17 using namespace std; 18 int gcd(int a,int b) 19 { 20 if(b==0) 21 { 22 return a; 23 24 } 25 else return gcd(b,a%b); 26 } 27 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 28 { 29 if(b==0) 30 { 31 x=1; 32 y=0; 33 return ; 34 } 35 exgcd(b,a%b,x,y); 36 int t=x; 37 x=y; 38 y=t-(a/b)*y; 39 } 40 int main() 41 { 42 int a,b,x,y; 43 while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF) 44 { 45 int k=gcd(a,b); 46 if(1%k)printf("sorry\n"); 47 else 48 { 49 exgcd(a,b,x,y); 50 x=x*(1/k); 51 y=y*(1/k); 52 while(x<0) x+=b,y-=a; 53 54 printf("%d %d\n",x,y); 55 } 56 } 57 }
poj 2115 C Looooops
http://poj.org/problem?id=2115
求解 a + cy= b % 2 的k次幂
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1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 #include<set> 6 #include<map> 7 #include<queue> 8 #include<vector> 9 #include<string> 10 #define Min(a,b) a<b?a:b 11 #define Max(a,b) a>b?a:b 12 #define CL(a,num) memset(a,num,sizeof(num)); 13 #define maxn 2100 14 #define inf 9999999 15 #define mx 1<<60 16 #define mod 9973 17 18 using namespace std; 19 long long gcd(long long a,long long b) 20 { 21 if(b==0) 22 { 23 return a; 24 25 } 26 else return gcd(b,a%b); 27 } 28 void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) 29 { 30 if(b==0) 31 { 32 x=1; 33 y=0; 34 return ; 35 } 36 exgcd(b,a%b,x,y); 37 long long t=x; 38 x=y; 39 y=t-(a/b)*y; 40 } 41 int main() 42 { 43 long long a,b,c,y,x; 44 long long k; 45 while(scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d",&a,&b,&c,&k),a+b+c+k) 46 { 47 k = (long long )1<<k; 48 long long m=gcd(c,k); 49 50 long long s=b-a; 51 if(s%m)printf("FOREVER\n"); 52 else 53 { 54 exgcd(c,k,x,y); 55 x*=s/m; 56 k=k/m; 57 if(x<0) 58 x=x%k+k; 59 60 printf("%lld\n",x%k); 61 62 } 63 64 65 } 66 }
poj 1061 青蛙的约会
http://poj.org/problem?id=1061
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1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 #include<set> 6 #include<map> 7 #include<queue> 8 #include<vector> 9 #include<string> 10 #define Min(a,b) a<b?a:b 11 #define Max(a,b) a>b?a:b 12 #define CL(a,num) memset(a,num,sizeof(num)); 13 #define maxn 2100 14 #define inf 9999999 15 #define mx 1<<60 16 #define mod 9973 17 #define ll long long 18 using namespace std; 19 long long gcd(long long a,long long b) 20 { 21 if(b==0) 22 { 23 return a; 24 25 } 26 else return gcd(b,a%b); 27 } 28 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) 29 { 30 if(b==0) 31 { 32 x=1; 33 y=0; 34 return a; 35 } 36 ll d=exgcd(b,a%b,x,y); 37 long long t=x; 38 x=y; 39 y=t-(a/b)*y; 40 return d; 41 } 42 int main() 43 { 44 45 ll x ,y ,n ,m ,l,k; 46 while(scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF) 47 { 48 49 ll a = (m-n); 50 ll b = l; 51 ll c = ( y- x); 52 ll d = exgcd(a,b,x,y); 53 54 if( c % d|| n==m)printf("Impossible\n"); 55 else 56 { 57 c=c/d; 58 59 60 61 x=((x*c)%b+b)%b;// 变为最小正数，x 有可能 < 0 62 63 64 65 printf("%lld\n",x); 66 } 67 } 68 }