RMQ 详解及 题目

RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题：
 

  RMQ问题是求给定区间中的最值问题。当然，最简单的算法是O(n)的，但是对于查询次数很多（设置多大100万次），O(n)的算法效率不够。可以用线 段树将算法优化到O（logn)（在线段树中保存线段的最值）。不过，Sparse_Table算法才是最好的：它可以在O(nlogn)的预处理以后实 现O(1)的查询效率。下面把Sparse Table算法分成预处理和查询两部分来说明(以求最小值为例)。

预处理:
预处理使用DP的思想，f(i, j)表示[i, i+2^j - 1]区间中的最小值，我们可以开辟一个数组专门来保存f(i, j)的值。
例如，f(0, 0)表示[0,0]之间的最小值,就是num[0], f(0, 2)表示[0, 3]之间的最小值, f(2, 4)表示[2, 17]之间的最小值
注意, 因为f(i, j)可以由f(i, j - 1)和f(i+2^(j-1), j-1)导出, 而递推的初值(所有的f(i, 0) = i)都是已知的
所以我们可以采用自底向上的算法递推地给出所有符合条件的f(i, j)的值。

1 for(int i=1;i<=n;i++) 

2    f[i,0]:=a[i];

3 

4 for(int j=1;j<=log(n)/log(2);j++)

5 {

6    for(int i=1;i<=n+1-1<<j;j++) 

7      f[i,j]=max(f[i,j-1],f[i+1<<(j-1),j-1]);  

8 };

 

查询:
假设要查询从m到n这一段的最小值, 那么我们先求出一个最大的k, 使得k满足2^k <= (n - m + 1).
于是我们就可以把[m, n]分成两个(部分重叠的)长度为2^k的区间: [m, m+2^k-1], [n-2^k+1, n];

而我们之前已经求出了f(m, k)为[m, m+2^k-1]的最小值, f(n-2^k+1, k)为[n-2^k+1, n]的最小值

1 long query(long l,long r)

2 {

3   long x=log(r-l+1)/log(2);

4   return (max(f[l,x],f[r+1-1<<x,x]));

5 }

 

我们只要返回其中更小的那个, 就是我们想要的答案, 这个算法的时间复杂度是O(1)的.
例如, rmq(0, 11) = min(f(0, 3), f(4, 3))

感想：对于一个数组里的固定长度的区间，可以只开一个n*1维数组，算f(i,j)的时候可以将f(i,j-1)覆盖，因为用到的只是上一列的情况。

 

题目：

poj 3368 Frequent values

http://poj.org/problem?id=3368

 

题意 ： 给定 一个 递增的数组 a   给出 q 次询问 求出 l  到 r  最多的     数字相同的个数

 

如 ：10 3 -1 -1 1 1 1 1 3 10 10 10

输入 1 10

输出  4

  1 到10 出现最多的是 1 出现了 4 次

 

题解： 将 连续相同的点 缩成一个节点 ，这个节点包括三个部分  初始位置 ，结束位置 ，个数
  那么询问时 包括三种情况
  1:l 和 r同属于  一个节点   那么 ans = r - l + 1
   
  2： 属于相邻的连个节点  ans =  max ( p[hash[l]].t - l +1,r - p[hash[r]].s + 1);
  3: 属于  l 和 r之间有好几个节点   hash[l]+1  到 hash[r] - 1 的最大值 和 情况 2 进

View Code

 1 #include<cstdio>

 2 #include<cmath>

 3 #include<cstring>

 4 #include<iostream>

 5 #include<algorithm>

 6 #include<set>

 7 #include<map>

 8 #include<queue>

 9 #include<vector>

10 #include<string>

11 #define Min(a,b) a<b?a:b

12 #define Max(a,b) a>b?a:b

13 #define CL(a,num) memset(a,num,sizeof(num));

14 #define maxn  100010

15 #define inf 9999999

16 

17 #define  mod   9973

18 #define ll  long long

19 using namespace std;

20 int hash[maxn],a[maxn];

21 int dp[maxn][30],id;

22 

23 struct node

24 {

25     int s;

26     int t;

27     int w;

28 

29 }p[maxn];

30 void rmq_init()

31 {

32     int i , j;

33 

34     for( i = 0; i <= id;++i)dp[i][0] = p[i].w;

35     int k = log(double(id+1.0))/log(2.0);//  

36 

37     for( i = 1;i <= k; ++i)

38     {

39         int s = (1 << i-1) - 1;

40         for(j = 1;j + (1 << i)-1 <= id ;++j)

41         {

42             dp[j][i] = max(dp[j][i - 1],dp[j + s ][i - 1]);

43         }

44     }

45 }

46 int get(int l,int r)

47 {

48     int k = log(double(r - l +1.0))/log(2.0);//求的是 求出最大的k,满足2^k<=R-L+1

49     int s = 1 << k;

50     return max(dp[l][k],dp[r - s + 1][k]);

51 }

52 int main()

53 {

54     int n,m,i,l,r;

55     while(scanf("%d",&n),n)

56     {

57         scanf("%d",&m);

58         for( i = 1;i <=n; ++i)scanf("%d",&a[i]);

59 

60         memset(p,0,sizeof(p));

61          id = 1;

62         p[1].s = 1;

63 

64         for( i = 1; i <= n ;++i)

65         {

66             hash[i] = id ;

67             p[id].w++;

68             if( a[i] != a[i+1] || i == n)

69             {

70                 p[id].t = i;

71                 if(i == n)break;

72                 id++;

73                 p[id].s = i + 1 ;

74 

75             }

76 

77         }

78          rmq_init();

79 

80          while( m--)

81          {

82              scanf("%d%d",&l,&r);

83              if(hash[l] == hash[r])printf("%d\n",r - l + 1);

84              else

85              {

86                 int num1 = p[hash[l]].t - l +1;

87                 int num2 = r - p[hash[r]].s + 1;

88                 int num3 = 0;

89                 if(hash[r] - hash[l] > 1)

90                 num3 = get(hash[l]+1,hash[r]-1);

91                 int ans = max(max(num1,num2),num3);

92                 printf("%d\n",ans);

93              }

94          }

95     }

96 }

 

 

poj  3264    Balanced Lineup

http://poj.org/problem?id=3264

 

题意 ： 给定 一段数   q此次询问   求出  l 到 r 的  最大值 和最小值的

 

View Code

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<set>

#include<map>

#include<queue>

#include<vector>

#include<string>

#define Min(a,b) a<b?a:b

#define Max(a,b) a>b?a:b

#define CL(a,num) memset(a,num,sizeof(num));

#define maxn  60000

#define inf 9999999



#define  mod   9973

#define ll  long long

using namespace std;

int dp1[maxn][30],dp2[maxn][30],a[maxn];

int n,m;

void RMQ_init()

{

    int temp = 0,i,j,s;

    while( 1<< temp < n)temp++;



    for(i = 0;i <= n; ++i)dp1[i][0] = dp2[i][0] = a[i];



    for(i = 1; i <= temp ; ++i)

    {

         s = 1 << (i-1);

        for(j = 0; j + s <= n;++j)

        {

             dp1[j][i] = max(dp1[j][i-1],dp1[j + s][i-1]);

             dp2[j][i] = min (dp2[j][i-1],dp2[j + s][i - 1]);

        }

    }

}

int  get (int l,int r)

{

    int k = r - l + 1;

    int tmp = 0;





    while(1 << tmp < k ) tmp++;

    tmp--;

    int s = 1 << tmp;

    int mx = max(dp1[l][tmp],dp1[r + 1 - s][tmp]);

    int mi = min(dp2[l][tmp],dp2[r + 1 -s ][tmp]);



    return mx - mi ;



}

int main()

{

    int i, l,r;

    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)

    {

        for(i = 1;i <= n; ++i)

        scanf("%d",&a[i]);



        RMQ_init();



        while(m--)

        {

            scanf("%d%d",&l,&r);

            int ans = get(l ,r);

           printf("%d\n",ans);



        }

    }



}