C语言经典算法之迪杰斯特拉算法

目录

前言

A.建议

B.简介

一 代码实现

二 算法时空复杂度

A.时间复杂度分析：

B.空间复杂度分析：

三 优缺点

A.优点：

B.缺点：

四 现实中的应用

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前言

A.建议

1.学习算法最重要的是理解算法的每一步，而不是记住算法。

2.建议读者学习算法的时候，自己手动一步一步地运行算法。

tips：文中的对数均以2为底数

B.简介

Dijkstra算法（迪杰斯特拉算法）是一种用于解决单源最短路径问题的贪心算法。它可以找到从起始节点到所有其他节点的最短路径。

一 代码实现

#include 
#include 

#define V 6  // 节点的数量

// 找到距离数组中最小值的索引
int minDistance(int dist[], int sptSet[]) {
    int min = INT_MAX, min_index;

    for (int v = 0; v < V; v++) {
        if (sptSet[v] == 0 && dist[v] <= min) {
            min = dist[v];
            min_index = v;
        }
    }

    return min_index;
}

// 打印最终的最短路径
void printSolution(int dist[]) {
    printf("节点\t最短距离\n");
    for (int i = 0; i < V; i++)
        printf("%d\t%d\n", i, dist[i]);
}

// Dijkstra算法的实现
void dijkstra(int graph[V][V], int src) {
    int dist[V];     // 存储从源节点到每个节点的最短距离
    int sptSet[V];   // 记录节点是否已经包含在最短路径树中

    // 初始化所有距离为无穷大，标记所有节点为未包含
    for (int i = 0; i < V; i++) {
        dist[i] = INT_MAX;
        sptSet[i] = 0;
    }

    // 设置起始节点的距离为0
    dist[src] = 0;

    // 找到最短路径
    for (int count = 0; count < V - 1; count++) {
        // 选择距离最小的节点
        int u = minDistance(dist, sptSet);

        // 标记节点为已包含
        sptSet[u] = 1;

        // 更新相邻节点的距离
        for (int v = 0; v < V; v++) {
            if (!sptSet[v] && graph[u][v] && dist[u] != INT_MAX &&
                dist[u] + graph[u][v] < dist[v]) {
                dist[v] = dist[u] + graph[u][v];
            }
        }
    }

    // 打印最终的最短路径
    printSolution(dist);
}

int main() {
    int graph[V][V] = {{0, 2, 0, 0, 0, 0},
                       {2, 0, 4, 1, 0, 0},
                       {0, 4, 0, 0, 3, 0},
                       {0, 1, 0, 0, 0, 1},
                       {0, 0, 3, 0, 0, 0},
                       {0, 0, 0, 1, 0, 0}};

    dijkstra(graph, 0);

    return 0;
}

二 算法时空复杂度

A.时间复杂度分析：

找到最小距离的节点 (minDistance 函数)：时间复杂度,在每次迭代中，该函数需要遍历所有节点，因此是的复杂度。

主循环：主循环运行V次，每次迭代需要在未包含在最短路径树中的节点中找到最小距离的节点，并更新相邻节点的距离。在每次迭代中，内层循环的复杂度为。
因此，总体时间复杂度：

使用最小堆优化：

如果使用最小堆（优先队列）来加速找到最小距离的节点的过程，时间复杂度可以优化到，其中是边的数量。
总体而言，Dijkstra算法的时间复杂度在最简单的实现中是，但在使用最小堆优化后可以达到更好的性能。

B.空间复杂度分析：

距离数组 (dist 数组)：空间复杂度：，存储从源节点到每个节点的最短距离。

包含节点是否在最短路径树中的数组 (sptSet 数组)：空间复杂度，记录节点是否已经包含在最短路径树中。

邻接矩阵：空间复杂度，存储有向图的权重。

总体而言，Dijkstra算法的空间复杂度主要取决于存储距离数组、是否在最短路径树中的数组以及图的数据结构的空间需求，是级别的。在使用最小堆优化的情况下，额外的空间开销是，其中E是边的数量。

三 优缺点

A.优点：

保证最短路径的准确性： Dijkstra算法能够准确地找到从源节点到所有其他节点的最短路径。

适用于稠密图和稀疏图： 无论是稠密图还是稀疏图，Dijkstra算法都能够有效地解决问题。

适用于有向图和无向图： Dijkstra算法可以应用于有向图和无向图，处理带权图的情况。

容易理解和实现： 算法逻辑相对简单，容易理解和实现。

B.缺点：

无法处理负权边： Dijkstra算法无法处理图中存在负权边的情况。如果图中包含负权边，该算法可能产生错误的结果。

不适用于带有负权环的图： 如果图中存在负权环，Dijkstra算法将陷入无限循环，因为它会反复尝试减小路径长度。

时间复杂度较高： 在简单实现中，Dijkstra算法的时间复杂度为，其中V是节点的数量。对于较大的图，这可能会导致性能问题。但通过使用优先队列（最小堆）可以将时间复杂度优化到。

需要额外空间： Dijkstra算法需要额外的空间来存储距离数组和判断节点是否已经包含在最短路径树中的数组，因此在空间上有一定的开销。

四 现实中的应用

路由算法： 在计算机网络中，迪杰斯特拉算法被广泛应用于路由选择，帮助路由器决定从源到目的地的最短路径。这有助于网络数据在互联网中的高效传输。

交通规划： 迪杰斯特拉算法可用于交通规划，帮助规划交通网络中车辆的最短路径，减少交通拥堵和节省时间。

电信网络优化： 在电信领域，Dijkstra算法被用于优化电话和数据网络的设计，确保通信的效率和稳定性。

无线传感器网络： 在无线传感器网络中，迪杰斯特拉算法可用于确定节点之间的最短路径，以最大程度地延长网络寿命。

地理信息系统（GIS）： 迪杰斯特拉算法可以用于计算地理信息系统中两个地点之间的最短路径，例如在导航应用程序中寻找最短驾驶路线。

资源管理： 在资源管理领域，Dijkstra算法被用于优化资源分配，例如在电力网络中确定电力传输的最短路径。

社交网络分析： 在社交网络中，迪杰斯特拉算法可以用于分析社交网络中个体之间的关系，找到最短路径，了解信息的传播和联系强度。

机器人路径规划： 在机器人领域，Dijkstra算法可以用于规划机器人在环境中的最短路径，以避免障碍物并实现有效的移动。