算法(5)-最小生成树(Prim算法和Kruskal算法)

定义

最小生成树是一副连通加权无向图中一棵权值最小的生成树，最小生成树其实是最小权重生成树的简称，

例如常见的修建公路之类的问题，用到的就是最小生成树算法，常见的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法

普里姆算法(Prim算法)

从单一顶点开始，普里姆算法按照以下步骤逐步扩大树中所含顶点的数目，直到遍及连通图的所有顶点。

1. 输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2. 初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {}；
3. 重复下列操作，直到Vnew = V：
   3.1. 在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合Vnew中的元素，而v则是V中没有加入Vnew的顶点（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
   3.2. 将v加入集合Vnew中，将（u, v）加入集合Enew中；
4. 输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树

例如计算下图的最小生成树

伪代码如下：

1. 从A点开始，获取与A点相连的权重最小的边，即AD，然后将A点和D点加入集合{A,D}
2. 将集合{A,D}当做一个整体，获取与它相连权重最小的边，此时AB和DF权重都是最小，所以将BF加入集合{A,B,D,F}
3. 将集合{A,B,D,F}当做一个整体，获取权重最小的边，此时BC和FE权重最小为8，然后将CE加入集合{A,B,C,D,E,F}

4. 最后将集合{A,B,C,D,E,F}看成一个整体，获取权重最小的边，此时EG最小，为9，这时最小生成树就得到了

   
   

克鲁斯克尔算法(Kruskal算法)

Kruskal算法大致步骤

1. 将原图中所有的边按权值从小到大排序
2. 从权值最小的边开始，如果这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，则添加这条边到图G中

3. 重复2，直至图G中所有的节点都在同一个连通分量中
   还是刚才的那个例子获取最小生成树

   
   

伪代码如下

1. 将原图中所有的边按权值从小到大排序
2. 从权值最小的开始，添加边AD到集合{AD}
3. 重复步骤2，依次添加CE，DF，AB，BE到集合{AD,CE,DF，AB,BE}

4. 重复步骤2，需要注意的是，此时集合中已经有AD，AB两条边，也是就它们已经在一个连通分量中了，所有注意不要添加BD这条边，同理的还有BE和CE边的存在，就不添加BC边，按照这样的逻辑重复步骤2，即可获得结果集合{AD,CE,DF，AB,BE，EG}