CF1349F2 Slime and Sequences (Hard Version)
题目描述
定义一个正整数序列 p \texttt{p} p，称其是合法的当且仅当对于所有在 p \texttt{p} p中出现过且 > 1 > 1 >1的正整数 k k k，存在 i < j i
定义 f ( k ) f(k) f(k)为 k k k在所有长度为 n n n的好序列中的出现次数之和。
∀ k ∈ [ 1 , n ] \forall k\in[1,n] ∀k∈[1,n]求 f ( k ) f(k) f(k)。
Easy Version( n ≤ 5000 n\leq 5000 n≤5000)
可证明每个合法序列和一个排列一一对应：
- 1.考虑怎么把排列对应成一个合法序列：
考虑把排列划分成若干极长的连续下降段，若第 i i i段里有数 x x x，就让 p x = i p_x=i px=i。
这样构造的 p p p一定是合法的，否则就说明存在一个 k k k，使得所有 k k k的出现位置都在 k − 1 k-1 k−1的出现位置前面，那么这两个连续段应该会变成一个，就矛盾了。
- 2.一个合法序列对应一个排列
这是显然的，把上述过程逆过来就好了。
因此这是一个双射。
那么对于一个位置 i i i，它对 f ( k ) f(k) f(k)的贡献就是它被划分在第 k k k段的排列数。
对于位置 i i i，若 p i < p i + 1 p_i
则 i i i被划分在第 k k k段的排列数等价与前 i i i个位置恰好有 k − 1 k-1 k−1个上升。
设长度为 n n n且有 m m m个上升的排列个数为 d p n , m dp_{n,m} dpn,m，则
f ( k ) = ∑ i = 1 n d p i , k − 1 C n i ( n − i ) ! f(k)=\sum_{i=1}^ndp_{i,k-1}C_n^i(n-i)! f(k)=i=1∑ndpi,k−1Cni(n−i)!
d p n , m dp_{n,m} dpn,m的递推是好求的，考虑加入最小的数：
-
加入后上升个数不变，有 m + 1 m+1 m+1种选择，因为可以填到末尾
-
加入后上升个数加一，有 n − m n-m n−m种选择，因为可以填到开头
总复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2).
#includeHard Version( n ≤ 1 0 5 n\leq 10^5 n≤105)
上文中的 f n , m f_{n,m} fn,m其实就是欧拉数，记为 E n , m E_{n,m} En,m,其含义为有m个上升的n阶排列数量。
d p dp dp的求法显然不能拓展，考虑更直接的刻画。
二项式反演，记 D n , m D_{n,m} Dn,m表示钦定 m m m个上升，剩下位置随便的方案数。
则
D n , m = ∑ k = m n ( k m ) E n , k D_{n,m}=\sum_{k=m}^n \binom{k}{m}E_{n,k} Dn,m=k=m∑n(mk)En,k
E n , m = ∑ k = m n ( − 1 ) k − m ( k m ) D n , k E_{n,m}=\sum_{k=m}^n(-1)^{k-m}\binom{k}{m}D_{n,k} En,m=k=m∑n(−1)k−m(mk)Dn,k
考虑 D n , m D_{n,m} Dn,m，把连续的上升看成一个连续段，则每个段的方案数唯一，不同段之间是一个二项卷积，一共有 n − m n-m n−m个连续段，故：
连续段的EGF： { 0 , 1 , 1 , … … } \lbrace0,1,1,……\rbrace {0,1,1,……},即 e x − 1 e^x-1 ex−1。
总的EGF： ( e x − 1 ) n − m (e^x-1)^{n-m} (ex−1)n−m
即： D n , m = n ! [ x n ] ( e x − 1 ) n − m D_{n,m}=n^{n-m} Dn,m=nn−m
E n , m = n ! ∑ k = m n ( − 1 ) k − m ( k m ) [ x n ] ( e x − 1 ) n − k E_{n,m}=n!\sum_{k=m}^n(-1)^{k-m}\binom{k}{m}[x^n](e^x-1)^{n-k} En,m=n!k=m∑n(−1)k−m(mk)[xn](ex−1)n−k
E a s y V e r s i o n Easy Version EasyVersion的答案式：
a n s k = ∑ i = 1 n E i , k − 1 ( n i ) ( n − i ) ! ans_k=\sum_{i=1}^nE_{i,k-1}\binom{n}{i}(n-i)! ansk=i=1∑nEi,k−1(in)(n−i)!
方便起见，我们改成 a n s k + 1 ans_{k+1} ansk+1，这样右边会整齐一点。
a n s k + 1 = ∑ i = 1 n E i , k ( n i ) ( n − i ) ! = ∑ i = 1 n ( n i ) ( n − i ) i ! ∑ j = k i ( − 1 ) j − k ( j k ) [ x i ] ( e x − 1 ) i − j ! = n ! ∑ i = 1 n ∑ j = k i ( − 1 ) j − k ( j k ) [ x i ] ( e x − 1 ) i − j ! = n ! k ! ∑ j = k n j ! ( − 1 ) j − k ( j − k ) ! ∑ i = j n [ x i ] ( e x − 1 ) i − j ! \begin{aligned} ans_{k+1} &=\sum_{i=1}^nE_{i,k}\binom{n}{i}(n-i)!\\ &=\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}(n-i)i!\sum_{j=k}^i(-1)^{j-k}\binom{j}{k}[x^i](e^x-1)^{i-j}!\\ &=n!\sum_{i=1}^n\sum_{j=k}^i(-1)^{j-k}\binom{j}{k}[x^i](e^x-1)^{i-j}!\\ &=\frac{n!}{k!}\sum_{j=k}^n\frac{j!(-1)^{j-k}}{(j-k)!}\sum_{i=j}^n[x^i](e^x-1)^{i-j}!\\ \end{aligned} ansk+1=i=1∑nEi,k(in)(n−i)!=i=1∑n(in)(n−i)i!j=k∑i(−1)j−k(kj)[xi](ex−1)i−j!=n!i=1∑nj=k∑i(−1)j−k(kj)[xi](ex−1)i−j!=k!n!j=k∑n(j−k)!j!(−1)j−ki=j∑n[xi](ex−1)i−j!
设 S j = ∑ i = j n [ x i ] ( e x − 1 ) i − j ! S_j=\sum_{i=j}^n[x^i](e^x-1)^{i-j}! Sj=∑i=jn[xi](ex−1)i−j!
则
a n s k + 1 = n ! k ! ∑ j = k n j ! ( − 1 ) j − k ( j − k ) ! S j ans_{k+1}=\frac{n!}{k!}\sum_{j=k}^n\frac{j!(-1)^{j-k}}{(j-k)!}S_{j} ansk+1=k!n!j=k∑n(j−k)!j!(−1)j−kSj
是一个差卷积的形式，可以直接算。
问题就是求出 S j S_j Sj
S j = ∑ i = j n [ x i ] ( e x − 1 ) i − j ! = ∑ i = j n [ x j ] ( e x − 1 x ) i − j ! = ∑ i = 0 n − j [ x j ] ( e x − 1 x ) i ! \begin{aligned} S_j&=\sum_{i=j}^n[x^i](e^x-1)^{i-j}!\\ &=\sum_{i=j}^n[x^j](\frac{e^x-1}{x})^{i-j}!\\ &=\sum_{i=0}^{n-j}[x^j](\frac{e^x-1}{x})^i!\\ \end{aligned} Sj=i=j∑n[xi](ex−1)i−j!=i=j∑n[xj](xex−1)i−j!=i=0∑n−j[xj](xex−1)i!
设 F ( x ) = e x − 1 x F(x)=\frac{e^x-1}{x} F(x)=xex−1
S j = [ x j ] 1 − F ( x ) n − j + 1 1 − F ( x ) S_j=[x^j]\frac{1-F(x)^{n-j+1}}{1-F(x)} Sj=[xj]1−F(x)1−F(x)n−j+1
= [ x j ] ( 1 1 − F ( x ) − F ( x ) n − j + 1 1 − F ( x ) ) =[x^j](\frac{1}{1-F(x)}-\frac{F(x)^{n-j+1}}{1-F(x)}) =[xj](1−F(x)1−1−F(x)F(x)n−j+1)
左边几乎可以直接算，唯一需要注意的是 1 − F ( x ) 1-F(x) 1−F(x)的常数项为0不能直接算，但是根据某些知识
1 F ( x ) × x − 1 × x − 1 = 1 F \frac{1}{F(x)\times x^{-1}}\times x^{-1}=\frac{1}{F} F(x)×x−11×x−1=F1
因此可以先平移一下，再平移回来。
重点看右边，设为 R j R_j Rj：
R j = [ x j ] F ( x ) n − j + 1 1 − F ( x ) = [ x n ] ( x F ( x ) ) n − j + 1 x − x F ( x ) = [ x n ] ( e x − 1 ) n − j + 1 x − e x + 1 R_j=[x^j]\frac{F(x)^{n-j+1}}{1-F(x)}=[x^n]\frac{(xF(x))^{n-j+1}}{x-xF(x)}=[x^n]\frac{(e^x-1)^{n-j+1}}{x-e^x+1} Rj=[xj]1−F(x)F(x)n−j+1=[xn]x−xF(x)(xF(x))n−j+1=[xn]x−ex+1(ex−1)n−j+1
设 G ( x ) = e x − 1 , P ( x ) = ln ( x + 1 ) G(x)=e^x-1,P(x)=\ln(x+1) G(x)=ex−1,P(x)=ln(x+1)，则 P ( G ( x ) ) = x P(G(x))=x P(G(x))=x，即 P , G P,G P,G互为复合逆。
[ x n ] ( e x − 1 ) n − j + 1 x − e x + 1 = [ x n ] G ( x ) n − j + 1 x − G ( x ) [x^n]\frac{(e^x-1)^{n-j+1}}{x-e^x+1}=[x^n]\frac{G(x)^{n-j+1}}{x-G(x)} [xn]x−ex+1(ex−1)n−j+1=[xn]x−G(x)G(x)n−j+1
设 H j ( x ) = x n − j + 1 P ( x ) − x H_j(x)=\frac{x^{n-j+1}}{P(x)-x} Hj(x)=P(x)−xxn−j+1，则 R j = [ x n ] H j ( G ( x ) ) R_j=[x^n]H_j(G(x)) Rj=[xn]Hj(G(x))
由扩展另类拉格朗日反演得：
R j = [ x n ] H j ( G ( x ) ) = [ x n ] H j ( x ) P ′ ( x ) ( x P ( x ) ) n + 1 = [ x n ] x n − j + 1 P ( x ) − x P ′ ( x ) ( x P ( x ) ) n + 1 = [ x k − 1 ] 1 P ( x ) − x P ′ ( x ) ( x P ( x ) ) n + 1 \begin{aligned} R_j &=[x^n]H_j(G(x))\\ &=[x^n]H^j(x)P'(x)(\frac{x}{P(x)})^{n+1}\\ &=[x^n]\frac{x^{n-j+1}}{P(x)-x}P'(x)(\frac{x}{P(x)})^{n+1}\\ &=[x^{k-1}]\frac{1}{P(x)-x}P'(x)(\frac{x}{P(x)})^{n+1} \end{aligned} Rj=[xn]Hj(G(x))=[xn]Hj(x)P′(x)(P(x)x)n+1=[xn]P(x)−xxn−j+1P′(x)(P(x)x)n+1=[xk−1]P(x)−x1P′(x)(P(x)x)n+1
然后就做完了。
注意求逆的时候要先平移一下。
复杂度 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn)
#include