2859.计算k置位下表对应元素的和

一个下标从 0 开始的整数数组 nums 和一个整数 k 。

请你用整数形式返回 nums 中的特定元素之 和 ,这些特定元素满足:其对应下标的二进制表示中恰存在 k 个置位。

整数的二进制表示中的 1 就是这个整数的 置位 。

例如,21 的二进制表示为 10101 ,其中有 3 个置位。

先找什么下标满足k个置位。2的n次幂为1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,所以满足的下标为k个2的n次幂之和

枚举所有的下标

思路与算法

对于给定长度为 n的数组 nums,我们在 [0,n)的范围内枚举每一个下标 i。如果i 有 k个置位,就将 nums[i]加入答案。

为了计算 i的置位个数,我们可以使用十进制转二进制的方法,每次通过 i  mod 2得到最低的二进制位,在通过 ⌊i/2⌋去掉最低的二进制位(其中 ⌊⋅⌋表示向下取整),不断进行该操作直到 i=0为止。

int bitCount(int x) {
    int cnt = 0;
    while (x) {
        cnt += (x % 2);
        x /= 2;
    }
    return cnt;
};

int sumIndicesWithKSetBits(int* nums, int numsSize, int k) {
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < numsSize; ++i) {
        if (bitCount(i) == k) {
            ans += nums[i];
        }
    }
    return ans;
}
class Solution:
    def sumIndicesWithKSetBits(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        def bitCount(x: int) -> int:
            cnt = 0
            while x:
                cnt += (x % 2)
                x //= 2
            return cnt
        
        ans = 0
        for i, num in enumerate(nums):
            if bitCount(i) == k:
                ans += num
        return ans

对计算置位个数进行优化

思路与算法

可以对计算置位个数的代码进行优化。

在本题中,下标的最大值为 10^3−1,它对应的二进制数有 10位,我们用 (abcdefghij)2来表示。本质上,我们希望快速得到:

a+b+c+d+e+f+g+h+i+j(1)的值。我们可以使用分治的思想,进行如下的三步操作:

  1. (abcdefghij)2拆分成两个二进制数 (0a0c0e0g0i)2与(0b0d0f0h0j)2
    。我们将它们直接相加,由于 0+0一定不会产生进位,因此我们两位两位地看这个加法操作,它们之间是相互不会影响的,例如 (0a)2+(0b)2 ,得到的结果实际上就是 a+b对应的二进制数。这样一来,加法操作得到的新数 (abcdefghij)2,其中:
    ab‾+cd‾+ef‾+gh‾+ij‾(2)的值与 (1)式是相同的,这里 ab‾表示将 ab看成一个两位的二进制数,计算其十进制的值。

第二步是类似的,将新的 (abcdefghij)2拆分成两个二进制数 (ab00ef00ij)2与 (00cd00gh)2,并直接相加。我们四位四位地看这个加法操作,它们之间是相互不会影响的。这样一来,加法操作得到的新数 (abcdefghij)2,其中:
ab‾+cdef‾+ghij‾(3)的值与 (1)式是相同的。

第三步时,我们只剩下三个部分,因此无需继续分治,直接计算 (3)式的值即可。
在编写代码时,我们需要使用位运算。三步操作分别对应着:

通过 x & 0101010101得到 (0a0c0e0g0i)2,以及 (x & 1010101010) >> 1得到 (0b0d0f0h0j)2。

通过 x & 1100110011得到 (ab00ef00ij)2,以及 (x & 0011001100) >> 2得到 (00cd00gh)2。

通过 x >> 8得到 (ab)2,以及 (x >> 4) & 1111得到 (cdef)2,以及 x & 1111得到 (ghij)2。

int bitCount(int x) {
    x = (x & 0b0101010101) + ((x & 0b1010101010) >> 1);
    x = ((x & 0b0011001100) >> 2) + (x & 0b1100110011);
    x = (x >> 8) + ((x >> 4) & 0b1111) + (x & 0b1111);
    return x;
};

int sumIndicesWithKSetBits(int* nums, int numsSize, int k) {
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < numsSize; ++i) {
        if (bitCount(i) == k) {
            ans += nums[i];
        }
    }
    return ans;
}
class Solution:
    def sumIndicesWithKSetBits(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        def bitCount(x: int) -> int:
            x = (x & 0b0101010101) + ((x & 0b1010101010) >> 1)
            x = ((x & 0b0011001100) >> 2) + (x & 0b1100110011)
            x = (x >> 8) + ((x >> 4) & 0b1111) + (x & 0b1111)
            return x
        
        ans = 0
        for i, num in enumerate(nums):
            if bitCount(i) == k:
                ans += num
        return ans

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