【数学笔记】集合及简要逻辑

基础

1. 集合定义：把一些能够确定的不同对象组成的整体叫做一个集合，每个对象叫做元素。
2. 集合记法：一般用大写字母 $A,B,C......$表示集合，小写字母 $a,b,c......$表示元素。
3. 集合与元素的关系：$\left\{\begin{array}{c}a\text{是}A\text{中的元素：}a\text{属于}A\text{，记为}a\in A\\ b\text{不是}A\text{中的元素：}b\text{不属于}A\text{，记为}b\notin A\end{array}\right\}$
4. 元素的三个特性：（从定义来的）
   $(1)$ $\text{确定性}$：标准明确，不含糊
   $(2)$ $\text{互异性}$：一个集合中的元素互不相同
   $(3)$ $\text{无序性}$：集合中的元素仅顺序改变，视为同一个集合
5. 空集：不含任何元素的集合叫空集，记为：$\varnothing$
6. 常见的数集：
   $(1)$：自然数集：$N$
   $(2)$：整数集：$Z$
   $(3)$：有理数集：$Q$
   $(4)$：实数集：$R$
   $(5)$：正整数集：$N_{+}\text{或}{N}^{\ast }$ (+取正，*去零)
   $(6)$：复数集：$C$
7. 集合的表示：
   1. $\text{列举法}$：把集合中的所有元素都列出来，写在“{ }”内，并用“，”隔开。
      ($1$) e.g.：
      “$1$ ~ $10$内的质数”：{$2,3,5,7$}
      “不大于$50$的自然数”：{$0,1,2,3,\cdots ,50$}
      “自然数集”：{$0,1,2,3,\cdots$}
      ($2$) 分类：$\{\begin{array}{c}\text{数集}\\ \text{点集}\\ \cdots \end{array}\text{：}\{\begin{array}{c}\text{有限集}\\ \text{无限集}\end{array}$
      $\text{注意}$：元素个数较多而且排列规律的时候，不引起误解的情况下，可以用$\cdots$表示集合。
      $\varnothing$与{$\varnothing$}不一样
      ($3$) 列举法的特点：有限集且元素个数较少时用列举法，很直观。
   2. $\text{(特殊性质)描述法}$：如果集合 $A$ 中的任意一个元素都在集合 $I$ 中可以找到，且 $p(x)$ 是 $A$ 的一个特征性质，则 $A$ 可以表示为 {$x\in I|p(x)$}
      (1) e.g.：{$x\in R|x^2-2=0$} ， {$(x,y)|y=x^2$} ， {$x\in N|1<x\le 3$}
      (2) 注意：表示的元素 $\in R$ 时可省，其他情况不能省略。集合的描述与字母选取无关。同一个集合的描述方法不唯一。
      (3) 特点：无限集常用描述法，形式简洁，充分体现元素特征。
   3. $\text{区间表示法(表示连续数集)}$：设 $a,b\in R,a<b$，我们规定：

定义	名称	符号	几何表示
{$x\mid a\le x\le b$}	闭区间	$[a,b]$	同
{$x\mid a<x<b$}	开区间	$(a,b)$	不
{$x\mid a\le x<b$}	左闭右开区间	$[a,b)$	等
{$x\mid a<x\le b$}	左开右闭区间	$(a,b]$	式
$R$	开区间	$(-\infty ,+\infty )$	解
{$x\mid x\ge a$}	左闭右开区间	$[a,+\infty )$	集
{$x\mid x\le a$}	左开右闭区间	$(-\infty ,a]$	的
{$x\mid x>a$}	开区间	$(a,+\infty )$	画
{$x\mid x<a$}	开区间	$(-\infty ,a)$	法

4. $\text{韦恩图法}$：了解即可，同容斥

简要逻辑

1. 命题：同初中，分为真命题和假命题。 写成若 $p$ 则 $q$ 的形式。($p$ 为条件，$q$为结论)
2. 充分，必要条件：

条件	内容	示例
充分条件	若$p\Rightarrow q$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件	$x>0\Rightarrow x^2>0$
必要条件	若$p\Leftarrow q$，则 $p$ 是 $q$ 的必要条件	$x^2>0\Leftarrow x>0$
充要条件	若$p\iff q$，则 $p$ 是 $q$ 的充要条件	$x^2>0\iff x^4>0$
既不充分也不必要	——	——

3. 全称量词，特称量词概念
   
4. 命题的否定：一般地，对命题 $p$ 加以否定，就得到一个新的命题，记作 $\neg p$，读作 “非 $p$ ” 或 “$p$ 的否定”
   ($1$)：$p:2>1，\neg p:2\le 1$
   ($2$)：“$\forall x\in M,p(x)$”的否定为“$\exists x\in M,\neg p(x)$”
   ($3$)：“$\exists x\in M,p(x)$”的否定为“$\forall x\in M,\neg p(x)$”
   注意：对于$(2)(3)$，口诀：“量词互换，条件取反”

集合间的关系与运算

1. 子集关系：若 $\forall x\in A,x\in B$，则称集合 $A$ 为集合 $B$ 的子集，记作 $A\subseteq B$ 或 $B\supseteq A$，读作 “ $A$ 包含于 $B$” 或 “$B$ 包含 $A$”
   注意：空集是任何集合的子集，任何集合都是本身的一个子集。
2. 相等关系：若 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$，则集合$A$与集合$B$相等，记作 $A=B$
3. 真子集关系(真包含关系)：若$A\subseteq B,\exists x\in B,x\notin A$，我们称集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集，记作$A⫋B(B⫌A)$
   注意空集，注意：$A\subseteq B\{\begin{array}{c}A=B\\ A⫋B\end{array}$

$A\cap B=${$x|x\in A,x\in B$}

$A\cap B=B\cap A,A\cap A=A,A\cap \varnothing =\varnothing ,(A\cap B)\subseteq A,A\cap B=A\iff A\subseteq B$

$A\cup B=${$x|x\in A$ 或 $x\in B$}

$A\cup B=B\cup A,A\cup A=A,A\cup \varnothing =A,(A\cup B)\supseteq A,A\cup B=B\iff A\subseteq B$

1. 全集：给定的集合，通常用 $U$ 表示。
2. 补集：记作 $C_{U}A$
   $C_{U}A=${$x|x\in U,x\notin A$}
   e.g:无理数集：$C_{R}Q$

$C_{U}U=\varnothing ,C_U\varnothing =U,C_U(C_{U}A)=A,A\cup (C_{U}A)=U,A\cap (C_{U}A)=\varnothing$

集合与充要性的关系：命题 “若 $p$,则 $q$” 中，$p:x\in A,q:x\in B$

条件类型	判断依据(箭头方向)	集合关系
充分非必要条件	$p\Rightarrow q$且$p\nLeftarrow q$，$p$ 是 $q$ 的充分非必要条件	$A⫋B$
必要非充分条件	$p\Leftarrow q$且$p\nRightarrow q$，$p$ 是 $q$ 的必要非充分条件	$A⫌B$
充要条件	$p\iff q$，$p$ 是 $q$ 的充要条件	$A=B$
既不充分也不必要	$p\nRightarrow q$且$p\nLeftarrow q$，$p$ 是 $q$的既不充分也不必要条件	$A,B$无包含关系