【算法】动态规划引入

算法-动态规划（引入）

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前置知识

• C++常识（雾
• 搜索

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思路

首先看到P1216，经典DP题。
新手看到这个题，也许会想到搜索——我把路径全都搜一遍不就结了？一写，TLE。。。
所以这个时候我们就来分析一下。
比如说，对于样例来说，同样是到中间的那个 1，我们从 $7\to 3\to 1$ 和 $7\to 8\to 1$ 分出了不同的两支，而显然 $7\to 8\to 1$ 比 $7\to 3\to 1$ 更优，也就是即使后面使用一样的决策，$7\to 8\to 1$ 也始终比 $7\to 3\to 1$ 更优，所以我们不如只记录 $7\to 8\to 1$ 这个决策。
如果你理解了上面这一段，那么恭喜你，DP中最重要的一个环节。
接下来我们考虑怎么记录。
不妨开一个数组，就叫它 $dp$ 好了，记录的是到达当前节点的最优解，计为 $d{p}_{i,j}$。
那么我们发现 $d{p}_{1,1}=a_{1,1}$，其中 $a$ 为记录三角形的数组。
得到了 $d{p}_{1,1}$ 后，我们发现，$d{p}_{i,j}=\max (d{p}_{i-1,j},d{p}_{i-1,j-1})+a_{i,j}$，即转移方程（注：这个地方建议自己手推一下，此处不给证明）
于是我们就得到了DP的两大步骤：首先得到初始条件，再得到转移方程，就做完了。

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代码

#include
using namespace std;
int a[1010][1010],f[1010][1010];
int main(){
	int n;cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=i;j++)
		cin>>a[i][j];
	f[1][1]=a[1][1];
	for (int i=2;i<=n;i--) for (int j=1;j<=i;j++)
		f[i][j]=max(f[i-1][j],a[i-1][j-1])+a[i][j];
	int ans=0;
	for (int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[n][i]);
	cout<<ans;
	return 0;
}

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练习

• 洛谷P1216
• 洛谷P1255
• 洛谷P1192
• 洛谷P1011
• 洛谷P1002