【数学】一元一次同余方程组、中国剩余定理（CRT）与扩展中国剩余定理（exCRT）

一元一次同余方程组

形如 $\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ ⋮\\ x\equiv a_n(\mathrm{mod}{m}_n)\end{array}$ 的方程组称作一元一次同余方程组。

中国剩余定理（CRT）

中国剩余定理（以下简称 CRT）对应的是该类方程组满足 $\underset{i=1}{\overset{n}{\gcd }}{m}_i=1$ 时的求解方法。
早在《孙子算经》中就提出了一元一次同余方程租的基本解法，在秦九韶提出“大衍求一术”后才构成了我们所知的 CRT。
CRT是这么算的：
首先设 $M=\prod _{i=1}^n{m}_i$，$M_i=\frac{M}{m_i}$
再设 $x_i$ 满足方程组 $\{\begin{array}{ll}{x}_i\equiv 0(\mathrm{mod}{m}_j)& \text{if }j\ne i\\ x_i\equiv 1(\mathrm{mod}{m}_j)& \text{if }j=i\end{array}$
不难解得 $x_i\equiv M_i{M}_i^{-1}(\mathrm{mod}M)$ 其中逆元为模 $m_i$ 下的。
逆元不妨用扩展欧几里得算法获得，也就是秦九韶的“大衍求一术”。
最后得到 $x\equiv \sum _{i=1}^n{x}_i\equiv \sum _{i=1}^n{M}_i{M}_i^{-1}(\mathrm{mod}M)$，即中国剩余定理。

扩展中国剩余定理（exCRT）

扩展中国剩余定理（以下简称 exCRT）去掉了 CRT 中的要求，可以对一元一次同余方程组直接求解。
但是 exCRT 相比之下显得非常暴力，简单来说就是使用扩展欧几里得算法暴力合并方程。
比如合并方程 $\{\begin{array}{l}x\equiv a_i(\mathrm{mod}{m}_i)\\ x\equiv a_j(\mathrm{mod}{m}_j)\end{array}$
我们设 $k_i\in \mathbb{Z}$，满足 $a_i+k_i{m}_i\equiv a_j(\mathrm{mod}{m}_j)$
再设 $k_j\in \mathbb{Z}$，整理得 $k_i{m}_i+k_j{m}_j=a_j-a_i$，可以借助扩展欧几里得算法求出 $k_i,k_j$
则得到的解显然是 $x\equiv k_i\cdot \frac{a_j-a_i}{\gcd (m_i,m_j)}(\mathrm{mod}\frac{m_i{m}_j}{\gcd (m_i,m_j)})$
在这个条件下，有可能会无解。当且仅当两个方程中 $a_i\not\equiv a_j(\mathrm{mod}\gcd (m_i,m_j))$ 会出现矛盾，导致无解，注意特判。

代码

• CRT

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){x=1;y=0;return;}
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;x=y,y=z-y*(a/b);
}
int CRT(int n,int a[],int m[]){
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int k;cin>>k;m[i]=k;
        p*=k;cin>>a[i];
    }
    for (int i=1;i<=n;i++){
        t[i]=p/m[i];
        int u=0,v=0;
        exgcd(t[i],m[i],u,v);
        if (u<0) x+=a[i]*t[i]*(u+m[i]);
        else x+=a[i]*t[i]*u;
    }
    return x%p;
}

• exCRT

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if (!b){x=1;y=0;return a;}
	int d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
    return d;
}
int exCRT(int n,int a[],int m[]){
	x=0,y=0,c=a[1],d=m[1];
	for (int i=2;i<=n;i++){
		int g=exgcd(d,m[i],x,y);
		if (c%g!=a[i]%g) return -1;
		x=(a[i]-c)/g*x%(m[i]/g);
		c+=d*x;
		d=d/g*m[i];
		c%=d;
	}
	if ((c+d)%d) return (c+d)%d;
	else return d;
}

练习

• 洛谷P1495
• 洛谷P4777