2024华数杯国际数学建模A 来自日本的放射性废水 （Problem A: Radioactive Wastewater from Japan）完整解题思路以及源代码分享
背景
2011年3月，日本东海岸发生的地震引发了福岛第一核电站的事故。一场大规模海
啸摧毁了该核电站的冷却系统，导致三个核反应堆熔毁，核燃料碎片熔化。为了冷
却熔化的核燃料，海水不断地注入反应堆，产生大量被放射性核素污染的冷却水。
2023年8月24日，尽管遭到了各国人民的反对，日本政府还是开始强行将经过处理
过的福岛放射性废水排放入太平洋。被放射性核素污染的放射性废水总量超过100
万吨。整个项目预计将至少持续30年。附录是由日本政府宣布的四轮排放计划。
这些核废水含有氚，一种放射性同位素，可以在环境中停留相当长的时间。放射性
元素的污染程度是指环境中存在的放射性元素的数量以及对人类和生态系统的潜在
危害程度。它通常通过测量放射性元素的浓度、辐射水平、半衰期等参数来进行评
估。氚的高放射性性质使它有可能用辐射破坏细胞和组织。在海洋环境中，氚会被
生物吸收，进入食物链，对生态系统中的物种造成辐射破坏，影响海洋生物的繁殖
和生态平衡。
放射性废水在海水中的扩散路径受到水的运动、海床地形、水深、潮汐和季节变化
、环境条件等多种因素的影响。了解环境中放射性废水在环境中的运输和扩散可以
帮助我们评估对周围海洋生态系统和人类健康的巨大影响。
要求 通过建立数学模型和分析，可以预测核废水的扩散范围和路径，制定环境保护措施
要求 通过建立数学模型和分析，可以预测核废水的扩散范围和路径，制定环境保护措施
和应急预案。
问题一：建立扩散数学模型，描述放射性废水在海水中的扩散速率和方向，考虑海水中的扩 散速率和扩散方向。据了解，直到2023年8月27日凌晨12点，日本才有1095吨 放射性废水被排放到海洋环境中。如果没有放射性废水的进一步排放，请于 2023年9月27日预测日本附近海域的放射性废水污染的范围和程度。（Establish a diffusion mathematical model to describe the rate and direction of radioactive wastewater diffusion in seawater, taking into account water motion, environmental conditions, and other influencing factors. It has been known that 1,095 tons of radioactive wastewater was released into the marine environment from Japan until 12:00 AM, August 27, 2023. If no further discharge of radioactive wastewater, please predict the scope and extent of radioactive wastewater pollution in the marine vicinity of Japan on September 27, 2023）
建立一个描述放射性废水在海水中扩散速率和方向的数学模型时，需要考虑水流、环境条件等影响因素。一个常用的模型是扩散方程（Diffusion Equation），可以用来描述物质在空间中的扩散过程。我们使用二维平面坐标表示空间，即 (x,y)，并假设水平平面上的废水扩散。我们还假设流速场 S(x,y,t) 只有水平分量，垂直方向的影响不考虑。
- 定义变量：
C(x,y,t)：放射性废水在空间坐标(x,y) 和时间t的浓度。
D：扩散系数，表示放射性废水在海水中的扩散速率。
S(x,y,t)：水平方向的流速场。
Q：初始释放的废水总量。
- 建立扩散方程： 扩散方程的简化形式为：
- 边界条件： 在海域的边界上，我们假设放射性废水的浓度为零，即C∣边界=0
- 初始条件： 在初始时刻t=0，整个释放量Q的废水均匀分布在释放点附近的一个圆形区域上，即
其中 R 表示初始释放废水的区域半径
- 利用数值方法（例如有限差分法）对扩散方程进行求解，模拟废水在海水中的扩散过程。
代码结果，详情请见文末附件：
问题二：2023年，日本政府曾三次倾倒放射性废水。如果以后不再倾倒，请建立数学模型 ，研究放射性废水三次倾倒后的扩散路径。考虑到诸如海洋环流模式、水动力 学、海床地形、深度变化、潮汐影响和季节波动等因素。污染中国的领海需要 多长时间？（In 2023, the Japanese government have dumped radioactive wastewater three times. If it will not be dumped again in the future, please establish a mathematical model to study the diffusion path of radioactive wastewater after three times dumping. Considering factors such as oceanic circulation patterns, water dynamics, seabed topography, depth variations, tidal influences, and seasonal fluctuations. How long it will take to pollute China's territorial waters?）
为了建立一个数学模型来研究三次放射性废水排放后的扩散路径，我们将考虑一些与海洋循环、水动力学、海底地形、水深变化、潮汐影响和季节波动等因素相关的复杂情况。我们可以采用一维扩散方程的模型，并考虑多次放射性废水的影响。
1. 定义变量：
C(x,t)：放射性废水在空间坐标x 和时间 t 的浓度。
D：扩散系数，表示放射性废水在海水中的扩散速率。
U(x,t)：水流速度场，考虑到海洋循环和水动力学。
Qi：第 i 次排放的废水总量。
ti：第 i 次排放的时间。
- 建立扩散方程： 采用一维扩散方程的模型，考虑水流速度对废水的影响：
- 边界条件取决于排放点的位置和排放的频率。三次排放，可以设定初始条件为：
- 初始条件： 每次排放后，初始浓度分布可以通过排放的废水总量均匀分布在一定区域上得到：
5. 数值求解： 利用数值方法，例如有限差分法，求解扩散方程，并模拟多次废水排放后的浓度分布。
6. 污染时间的预测： 在模拟的结果中，观察废水浓度何时超过设定的阈值，以确定在什么时候开始影响到中国领海。这可能需要对废水浓度的时空分布进行详细分析。
代码结果，详情请见文末附件：
问题三：在日本政府宣布倾倒放射性废水后，有关部门已经对1万名中国居民进行了调查。 包括他们是否会在放射性废水倾倒前后购买和食用海鲜。结果如表1所示。根 据表1所示的调查结果，分析了放射性废水倾倒对中国未来渔业经济的长期影响
详情见文末附件：
问题四：在日本排放放射性废水30年后，请判断世界上所有的海洋是否会受到污染。哪一 年会被完全污染？其中，哪个地方的污染会最严重？
