二分算法详解：整数二分及浮点数二分算法（Binary Search）（含算法模板）

一、二分算法简介

当我们要从一个序列中查找一个元素的时候，最简单无脑的方法就是顺序查找法，但由于在大数据情况下爆炸的时间复杂度而舍弃。

最常见的方法是二分查找，也称折半查找（Binary Search），它是一种效率较高的查找方法。

最近偶然看到 『LeetCode』 讨论中的大佬总结的 二分查找从入门到入睡 ，虽然文章巨长，但总结的很全，一些边界问题讲的也很细，其中包括了Y总的二分思路，非常推荐看一看！！

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二、 算法基本思想和流程（时间复杂度 $O(logn)$ ）

• 算法思想： 假设在闭区间 [l, r] 中寻找目标值 x ，二分的思想是每次将区间长度缩小一半，当l = r时，我们就找到了目标值。
• 注意：
  • 二分的本质并不是单调性，二者并没有必要的关系。 因为数据有单调性一定可以二分，但可以二分的题目不一定非要有单调性。
    
  • 二分的本质在于：在区间 [l, r] 中有性质，使得区间可以一分为二，一半边区间满足该性质而另一半区间不满足性质， 这样的话二分算法可以寻找这个性质的边界（红色和绿色的边界都行，因为是整数二分所以两边界不重合）。
• 整数二分： 文章中的两个模板分别对应着二分红色边界和二分绿色边界。
  • 【模板一】二分红色边界
    
    • Step1——确定中间点mid = (l + r + 1) / 2；
    • Step2——判断
      • 若 mid 满足性质 check(mid) ，即 if(check(mid)) = True，则更新区间为 [mid, r]，即令l = mid 即可；
      • 若 mid 不满足性质 check(mid) ，即 if(check(mid)) = False，则更新区间为 [l, mid - 1]，即令r = mid - 1 即可；
    • Step3——循环前两步，不断缩短空间，直到 l >= r，边界值为 l。
  • 【模板二】二分绿色边界
    
    • Step1——确定中间点mid = (l + r) / 2 （上取整是为了防止死循环）；
    • Step2——判断
      • 若 mid 满足性质 check(mid) ，即 if(check(mid)) = True，则更新区间为 [l, mid]，即令r = mid 即可；
      • 若 mid 不满足性质 check(mid) ，即 if(check(mid)) = False，则更新区间为 [mid + 1, r]，即令l = mid + 1 即可；
    • Step3——循环前两步，不断缩短空间，直到 l >= r，边界值为 l。
• 浮点数二分 ：相对于整数二分更简单，无需考虑边界问题，理解了整数二分后，浮点数二分不成问题。

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三、 整数二分模板（背诵）

【模板一】

• 循环条件：l < r
• 划分区间：[l, r] → [l, mid - 1]和[mid, r]
• 更新操作：r = mid - 1或者l = mid
• 注意：计算mid时为了避免死循环需要加1，即mid = l + r + 1 >> 1。

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

int bsearch(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

【模板二】

• 循环条件：l < r
• 划分区间：[l, r] → [l, mid]和[mid + 1, r]
• 更新操作：r = mid或者l = mid + 1
• 注意：计算mid时不需要加1，即mid = l + r >> 1。

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

int bsearch(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

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3. 浮点数二分模板（背诵）

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)  // 两种写法：此时是用精度控制循环次数，直接控制循环100次也是OK的！
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

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四、 使用模板的几个关键问题

① 如何选择用哪个模板？

做题的顺序首先是确定 check() 函数，再进行区间划分的分析，再确定使用哪个模板。

可以看到：当 l = mid 时，我们使用模板一，且 mid = (l + r) / 2 为下取整；当 r = mid 时，我们使用模板二，且 mid = (l + r + 1) / 2 需要上取整；

② 为什么模板一需要加上 ‘1’ ，即 ‘mid = (l + r + 1) / 2’，而模板二又不需要了 ？

• 使用模板一时，若 l = r - 1，即 l 和 r 只差 1 的时候，如果 mid = (l + r) / 2 下取整的话，结果是等于 l 的，则一旦 if(check(mid)) = True ，更新区间会一直陷入到 [mid, r] = [l, r] 死循环中。
• 同理，使用模板二时，当 l = r - 1，即 l 和 r 只差 1 的时候，如果 mid = (l + r + 1) / 2 下上取整的话，结果是等于 r 的，则一旦 if(check(mid)) = True ，更新区间会一直陷入到 [l, mid] = [l, r] 死循环中。

五、 应用：模板题

【整数二分 - 模板题】AcWing 789. 数的范围
【思路】想要找到目标值 x 的起始坐标，可理解成找到 ≥x 的最小值，再判断找到的边界值是否与 x 相等，若不相等返回 -1；同样，想要找到目标值 x 的终止坐标，可理解成找到 ≤x 的最大值，再判断找到的边界值是否与 x 相等，若不相等返回 -1；

【C++代码】

#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int q[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);

    while (m -- )
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);

        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if (q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }

        if (q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;
        else
        {
            cout << l << ' ';

            int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r)
            {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }

            cout << l << endl;
        }
    }

    return 0;
}

【浮点数二分 - 模板题】AcWing 790. 数的三次方根

【C++代码】

#include 

using namespace std;

int main()
{
    double x;
    cin >> x;

    double l = -100, r = 100;
    while (r - l > 1e-8)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (mid * mid * mid >= x) r = mid;
        else l = mid;
    }

    printf("%.6lf\n", l);
    return 0;
}

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2022年06月26日：补充二分“相等返回”的模板

【模板三】相等返回

• 循环条件：l <= r
• 划分区间：[l, r] → [l, mid - 1]和[mid + 1, r]
• 更新操作：r = mid - 1或者l = mid + 1
• 注意：计算mid时不需要加1，即mid = l + r >> 1。

int bsearch(int l, int r)
{
    while (l <= r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (q[mid] == target) return mid;
        else if (q[mid] < target) l = mid + 1;
        else r = mid - 1;
    }
    return -1;
}

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2022年06月30日：补充二分三个模板的理解

此处借鉴学习一下『 LeetCode 大佬 - yukiyama』 的总结表格，详解请参考：二分查找从入门到入睡

• Y总的两个二分模板使用的循环条件是 l < r，结束循环条件必定是相等 l = r 终止，且二分范围一般来讲是 [0, n - 1] ，n 为数组长度。本质上在二分的过程中，mid 并没有完全覆盖整个数组，这怎么理解呢？
  • 我们先看模板一，我们考虑一种情况，当数组中所有元素都不满足性质时，这时候 r 值会一直缩小直到 l = r = 0 ，而在这个过程中 mid 不会取到 0 值就返回了，也就是说返回的 l = 0 值并没有通过性质的判断，无法确定是否满足我们所设的二分性质，因为这个性质的边界是可能存在于小于 0 上的。因此，保险起见，需要对输出的 l 再进行一次判断即可。总结来说，Y总的模板一是左开右闭的。
  • 同理我们分析模板二，同样考虑一种情况，当数组中所有元素都不满足性质时，这时候 l 值会一直扩大直到 l = r = n - 1 ，而在这个过程中 mid 不会取到 n - 1 值就返回了，也就是说返回的 l = n - 1 值并没有通过性质的判断，无法确定是否满足我们所设的二分性质，因为这个性质的边界是可能存在于大于 n - 1 上的。因此，保险起见，需要对输出的 l 再进行一次判断即可。总结来说，Y总的模板二是左闭右开的。
  • 所以，用Y总的模板一和模板二的时候需要小心一下 l 是否落到范围边界上了，此时就需要再次判定一下。或者将范围扩大到 [-1, n - 1] （模板一）/ [0, n] （模板二）。
• 我们用同样的思想去看一看模板三（相等返回），不同于前两个模板，模板三的退出循环条件必定是相错终止，即 l - r = 1 ，按上述方法去分析的话，我们会发现模板三的 mid 会覆盖整个数组元素，因此模板三是左闭右闭的，且由于更新操作为r = mid - 1或者l = mid + 1，因此计算mid时不需要加1，mid = l + r >> 1 即可。