数据特征工程 | 主成分分析原理及python代码实现

主成分分析（PCA）是一种统计方法，它通过正交变换将一组可能相关的变量转换为一组线性不相关的变量，这些变量称为主成分。PCA广泛应用于数据降维、特征抽取、数据压缩等领域。
PCA的主要目的是减少数据的维度，同时保留数据集中的大部分信息。在许多实际问题中，很多特征之间存在相互依赖，PCA能够找到最重要的特征并且去除不重要的特征。

工作原理

标准化数据：首先对原始数据进行标准化处理。标准化是指将每个特征的平均值减去数据点的值，然后除以标准差。这一步是为了让所有的特征都处于相同的量级，便于后续处理。

计算协方差矩阵：接下来计算数据的协方差矩阵。协方差矩阵描述了数据中各个维度之间的相关性。如果两个特征高度相关，那么它们可能携带相似的信息，因此一个可以被另一个代替。

计算协方差矩阵的特征值和特征向量：协方差矩阵的特征向量决定了数据的主成分方向，而对应的特征值决定了这些方向上的重要性（方差大小）。特征值越大，对应的特征向量上的方差越大，这个方向就越“重要”。

选择主成分：根据特征值的大小，选择前k个最大的特征值对应的特征向量。这k个特征向量就是新的、降维后的特征空间的基。

构造新的特征数据：最后，将原始数据投影到这些特征向量上，得到降维后的数据。这些新的特征被称为主成分。

假设我们在一个电商公司工作，公司想通过客户的历史购买记录来进行市场细分和个性化推荐。每个客户都有多种属性，例如购买频率、平均购买金额、页面浏览量、点击率等。这些属性构成了一个高维数据集。

1. 数据收集与预处理
   我们从数据库中收集了以下属性：

   年龄

   年收入

   购买频率

   平均购买金额

   页面浏览量

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